LIVRE II. k

Si n est infini, on a

Si n = 1, c'est-à-dire si l'existence du fait est aussi probable que sa non-existence, on a

j,.=zl + i(2;>,-l)(2/?o-l) ... [ipr-l).

En général, à mesure que la chaîne traditionnelle se prolonge, y, approche indéfiniment de sa limite -•> limite qui est la probabilité,

a priori, de la sortie du n*' i. Le terme - — ^ ^^'__" • •• de l'expression

de jK/- est donc ce que la chaîne des témoins ajoute à cette probabilité. On voit ainsi comment la probabilité s'affaiblit à mesure que la tradition se prolonge. A la vérité, les monuments, l'imprimerie et d'autres causes peuvent diminuer cet effet inévitable du temps; mais ils ne peuvent jamais entièrement le détruire.

Si l'on a deux chaînes traditionnelles, chacune de /'témoins, si l'on suppose les témoins de ces chaînes également véridiques et si le dernier témoin de l'une des chaînes s'accorde avec le dernier de l'autre à affirmer la sortie du n" ?, on aura la probabilité de cette sortie, en substituant j,. pour/? et/?' dans la formule (o) du numéro précédent, qui devient par là

49. Considérons deux témoins dont/? et/?' soient les véracités respectives. On sait que tous deux ou du moins l'un d'eux, sans être contredit par l'autre qui, dans ce cas, n'a point prononcé, affirment que le n" «est sorti d'une urne qui en renferme le nombre n. En supposant toujours qu'on n'a extrait qu'un seul numéro, on demande la probabilité de la sortie du n° i.

Soient r et r' les probabilités respectives que les témoins prononcent. On ne peut faire ici que les quatre hypothèses suivantes : i° les deux témoins prononcent et disent la vérité ; 2*^ les deux témoins prononcent

et trompent; 3° l'un des témoins prononce et dit la vérité, et l'autre témoin ne prononce pas; l\° l'un des témoins prononce et trompe, et l'autre ne prononce point.

Dans la première hypothèse, le n*' i est sorti, et la probabilité de cet

événement est -• 11 faut la multiplier par le produit des probabilités /■

et r' que les deux témoins ont prononcé, et par le produit des probabilités p et p' qu'ils disent la vérité; on aura ainsi

pp'.rr' n

pour la probabilité de l'événement observé, dans cette hypothèse.

Dans la deuxième, le n'' ï n'est pas sorti, et la probabilité de cet événement est Mais, si les deux témoins trompent sans s'entendre,

la nrobabilité qu'ils s'accorderont à énoncer le même n*' i est -, ,-•

Il faut multiplier le produit de ces probabilités par la probabilité /r'que les deux témoins prononcent à la fois, et par la probabilité (i—/?)(i —p') qu'ils trompent tous deux. On aura ainsi

pour la probabilité de l'événement observé, dans la deuxième hypothèse.

Dans la troisième, le n*'« est sorti, et la probabilité de cet événement

est -• Il faut la multiplier par la probabilité /?r(i — r') '+-p'r'{i — r)

que l'un des témoins prononcée en disant la vérité, tandis que l'autre témoin ne prononce point. On aura ainsi

pr{i— r') -+- p'r

pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Enfin, dans la quatrième, le n*' i n'est pas sorti, et la probabilité de