LIVRE II

cet événement est ""'; mais le témoin qui trompe doit le choisir

dans les n — I numéros non sortis, el la probabilité de ce choix est

—' Il faut multiplier le produit de ces probabilités par la probabilité

(i —p)r[i — /^) + (i —p')r'(i — r) que l'un des témoins prononçant trompe, tandis que l'autre témoin ne prononce point. On a ainsi

pour la probabilité correspondante à la quatrième hypothèse.

Maintenant on aura la probabilité de la sortie du n° i, en divisant la somme des probabilités relatives à la première et à la troisième hypothèse par la somme des probabilités relatives à toutes les hypothèses, ce qui donne, pour cette probabilité,

pp'rr -^pr[i — r') + p'r'(i — r

pp'.rr'-V- r(i- r') -\- r'fi- r) + ^ -^^"ITT^^

Ces exemples indiquent suffisamment la méthode d'assujettir au calcul des probabilités les témoignages.

50. On peut assimiler le jugement d'un tribunal qui prononce entre deux opinions contradictoires au résultat des témoignages de plusieurs témoins de l'extraction d'un numéro d'une urne qui ne contient que deux numéros. En exprimant par p la probabilité que le juge prononce la vérité, la probabilité de la bonté d'un jugement rendu à l'unanimité sera, par ce qui précède,

pr^[x.-pY

r étant le nombre des juges. On peut déterminer/) par l'observation du rapport des jugements rendus à l'unanimité par le tribunal au nombre total des jugements. Lorsque ce nombre est très grand, en le désignant par /?, et par i le nombre des jugements rendus à l'unanimité, on aura

à fort peu près

P'\-i-{i-py=~^

la résolution de cette équation donnera la véracité p des juges. Cette équation se réduit à un degré de moitié moindre, en faisant/?== i +v/^^- Elle devient alors

équation qui, développée, est du degré '- ou '^, suivant que r est pair ou impair.

La probabilité de la bonté d'un nouveau jugement rendu à l'unanimité sera

Si l'on suppose le tribunal formé de trois juges, on aura

Nous adopterons le signe +; car il est naturel de supposer à cliaque juge une plus grande probabilité pour la vérité que pour l'erreur. Si la moitié des jugements rendus par le tribunal a été rendue à l'unanimité, alors ^== A, et l'on trouve /? = 0,789. La probabilité d'un nouveau jugement rendu à l'unanimité sera 0,981. Si ce jugement n'est rendu qu'à la pluralité, sa probabilité sera p ou 0,789.

En général, on voit que la probabilité i- ^(f ~pY de la bonté d'un nouveau jugement rendu à l'unanimité est d'autant plus grande que r est un plus grand nombre et que les valeurs de p et de i sont plus grandes, ce qui dépend des lumières des juges. Il y a donc un grand avantage à former des tribunaux d'appel, composés d'un grand nombre de juges choisis parmi les personnes les plus éclairées.

Nous avons intégré, par une approximation très convergente, dans le n° 34 du Livre I^', l'équation aux différences finies

Il est facile de conclure de notre analyse l'expression du rapport de la circonférence au rayon, en produits infinis, donnée par Wallis. En effet, cette analyse nous a conduit, dans le numéro cité, à l'expression générale

{n-h fj.) {n-h(j.-hi)...{n-hs--i) fu^'^'~^''+* du(i - m2)«+^' ^ ^ ' (7i7+~^ +"iyf^ + ^t^ + 2 ) . . . ( n' + ;y ) ~ Jm 2«'-2«+ ' du ( i - a^y^\>-'< '

les. intégrales étant prises depuis u ~- o jusqu'à « — i. En faisant d'abord n'—-o, ii =^ {, p< = i et observant que fdu{i — u^)'- = \r:, Tz étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura

/î.6...2sfdu{i — u^f~^

En supposant donc généralement

on aura

4 3.5. ..{is — i) 3.5. ■ .(2^+ i)

^ ~^ ÇêT-TTs •^^- 1 ~ 4T6.7 7("^ HhT) ^^ ^ I

ce qui donne

Si l'on fait ensuite, dans la formule (a), n' = — ^, n = o et [j. = i, elle

donne