is — 0 __

d'où l'on tire

équation qui coincïde avec la précédente entre j 1 et j , en y changeant s dans s ■+■ i, en sorte que cette équation a lieu, s étant entier ou égal à un entier plus ^.

Les deux expressions de r-, et de - donnent

les équations aux différences en y, et j j^ donnent

Jj, ~ 25(25+2) Ts ~ 25(25+2) (25+ 2) (25 + 4) J*+l """■■*

Le rapport — - est plus grand que l'unité; il diminue sans cesse, à

mesure que s augmente, et, dans le cas de s infini, il devient l'unité. En effet, ce rapport est égal à

fduji — u^y-*

fdu{i — u^) ^

{ Or l'élément du(i — u^y~* est plus grand que l'élément da(i — u^) ,

ou du{i — u^y~*{i — ii^Y; l'intégrale du numérateur de la fraction précédente surpasse donc celle du dénominateur; cette fraction est donc plus grande que l'unité. Lorsque s est infini, ces intégrales n'ont de valeur sensible que lorsque u est infiniment petit; car, u étant fini, le facteur (i — M^)^"' devient une fraction ayant un exposant infiniment

grand; on peut donc alors supposer (i — m'^)^= i, ce qui rend le rapport -7-^ égal à l'unité.

Co rapport est égal au produit d'une suite infinie de fractions, dont

la première est ---. ^^> et dont les autres s'en déduisent, en auiî-

mentant successivement^ d'une unité; il devient -^' -, en v changeant s

dans ^-h 2, et la fraction -^V/o";- -^ devient ~-^~ — ^ ^ -, or on a, ({uel que soit s,

25(25-4-2) -""^ (25 + 1) (25 -f- 3)' on a donc cette inégalité

En y changeant 5 en ^ — i, on aura

Ces deux inégalités donnent

Substituant au lieu des rapports -^' et -^^ leurs valeurs données

^ 2 par les équations aux différences en j^, on aura

on aura donc

/ 4 ^ 3J^5J___[2 5-0]2^-l) /' ^ V . ) TT ^ 2 . 4 4.6 ■ ■ ' ("24 — 2)~25 V ' "^ ^'

Wallis publia en 1657, ^^"^ son Arithmetica injinitomm, ce beau tliéo-

OF.uvres de A. — Vil. (JO

renie, l'un des plus curieux de l'Analyse, par lui-même et par la manière dont l'inventeur y est parvenu. Sa méthode renfermant les principes de la théorie des intégrales définies, que les géomètres ont spécialement cultivée dans ces derniers temps, je pense qu'ils en verront avec plaisir une exposition succincte dans le langage actuel de l'Analyse.

Wallis considère la suite des fractions dont le terme général est

/ 4x7' '^ ^^ ^ étant des nombres entiers, en commençant par

fdx\i — x")

zéro. En développant le binôme renfermé sous le signe intégral et intégrant chaque terme du développement, il obtient, pour une même valeur de n, les valeurs numériques de la fraction précédente, correspondantes ks — o,sr=\,s=^:i, ..., ce qui lui donne une série horizontale, dont s est l'indice. En supposant successivement n = o, n = i, n=i,..., il a autant de séries horizontales. Par là, il forme une Table à double entrée, dont s est l'indice horizontal et n l'indice vertical.

Dans cette Table, les séries horizontales et verticales sont les mêmes, en sorte que, en désignant par /„,, le terme correspondant aux indices n et s, on a cette équation fondamentale

Wallis observe ensuite que la première série est l'unité; que la seconde est formée des nombres naturels; que la troisième est formée des nombres triangulaires, et ainsi de suite; de manière que le terme général yn,s de la série horizontale correspondante à /i est