rt

cette fraction étant égale à

on voit clairement que y„^s est égale à j,,„.

Maintenant, si l'on parvenait à interpoler dans la Table précédente le terme correspondant h n et s égaux à ^, on aurait le rapport du carré du diamètre à la surface du cercle; car le terme dont il s'agit

est f > ou -• VVallis cherche donc à faire cette interpola-

fdx[i~x^f ^

tion. Elle est facile dans le cas où l'un des deux nombres n el s est

un nombre entier. Ainsi, en faisant successivement s égal à un nombre

entier moins i-, dans la fonction ^ — ^' ^^ ~i il obtient tous

les termes des suites horizontales, correspondants aux valeurs de .y,

' ' '^ ; et en faisant n égal à un nombre entier moins l dans la

fonction — „ ^ ' ' -, il obtient tous les termes des suites

verticales, correspondants aux valeurs de n, — ^, |, .... Mais la difficulté consiste à trouver les termes correspondants k n et s, égaux tous deux à des nombres entiers moins ^.

Wallis observe pour cela que l'équation

{s + i){s-\-i)...{s+ii)

donne

sis + \] . . . [s -^ ?l — l]

Tn,s-i

et qu'ainsi l'on a

s -\- n rn,s= Tf'.s-i ;

en sorte que chaque terme d'une série horizontale est égal au précédent, multiplié par la fraction ; d'où il suit que tous les termes

d'une série horizontale, à partir de 5 — — J-, s croissant successivement de l'unité, sont les produits de y . par les fractions — -~-' , ^""^ , - — = — ) •••» et, à partir de s= i, ces termes sont les produits de r„u

parles tractions > > — - ■, — il suppose que les mêmes lois

subsistent dans le cas de n fractionnaire et égal à ^, en sorte que l'on

a tous les termes, à partir de 5 = — ^, en multipliant j^^ ^ par la suite

2' des fractions f , J, |, .... En désignant donc par n le terme correspondant à n = ^ et s = ^, terme qui, comme on l'a vu, est éaçal à -> on a

n = fri,i,

ce qui donne

A partir de y^ ou de l'unité, il obtient les termes successifs de la série, correspondants à s entier, en multipliant successivement l'unité, par les fractions f, f, ^, . . .. Il forme ainsi la série horizontale suivante qui correspond i\n={,et à ^ successivement égal à — ^, o, ^, i, |, . . .,

(0 ïïD, I, n, f, In, l-i Mn, ...,

série qui représente celle-ci,

La série [i) donne généralement, s étant un nombre entier,

4 is — 2

d'où l'on tire