is-i]{is~i
Wallis considère ensuite que, dans la série [i], le rapport de chaque terme à celui qui le précède d'une unité est plus grand que l'unité et diminue sans cesse, en sorte que l'on a
Cela résulte en effet de l'équation
11 suppose que cela a également lieu pour tous les termes consécutifs de la série, en sorte que l'on a les deux inégalités
d'où il tire, comme on l'a fait ci-dessus,
par là, il change la formule (B) dans la formule (A).
Cette manière de procéder par voie d'induction dut paraître et parut, en effet, extraordinaire aux géomètres accoutumés à la rigueur des anciens. Aussi voyons-nous que de grands géomètres contemporains de Wallis en furent peu satisfaits, et Fermât, dans sa correspondance avec Digby, fit des objections peu dignes de lui contre cette méthode qu'il n'avait pas suffisamment approfondie. Elle doit être, sans doute, employée avec une circonspection extrême : Wallis dit lui-même, en répondant à Fermât, que c'est ainsi qu'il s'en est servi, et, pour en confirmer l'exactitude, il l'appuie sur un calcul par lequel lord Brouncker avait trouvé, par le moyen de la formule (A), le rapport de la circonférence au diamètre, compris entre les limites
3 ,i4i59 •îôSSî 6g, 3,141592653696,
limites qui coïncident dans les dix premiers chiffres avec ce rapport que l'on a porté au delà de cent décimales. Nonobstant ces confirmations, il est toujours utile de démontrer en rigueur ce que l'on obtient par ces moyens d'invention. Wallis observe que les anciens en avaient.
sans doute, de semblables qu'ils n'ont point fait connaître, se contentant de donner leurs résultats appuyés de démonstrations synthétiques. Il regrette, avec raison, qu'ils nous aient celé leurs moyens d'y parvenir, et il dit à Fermât qu'on doit lui savoir gré de ne les avoir pas imités, et de n'avoir pas détruit le pont après avoir passé le fleuve. Il est digne de remarque que Newton, qui avait profité de cette méthode d'induction de Wallis et de ses résultats pour découvrir son théorème du binôme, ait mérité les reproches que Wallis fait aux anciens géomètres, en cachant les moyens qui l'avaient conduit à ses découvertes.
Reprenons la formule (B) de Wallis. Si l'on suppose
cette formule donnera
ri
Us-, = r'- (—Ui
OU
(0 0=2.s[:i.S — 2){Us— Us-i) -h Us.
Soit
.... Af<) A(2) A(3) at = A'*'^-4- 1 -1
et considérons ce que produit, dans le second membre de l'équation (/),
le terme
En n'ayant égard qu'à ce terme dans w^, on aura
Us— Us-,
le terme 2^(25 — 2)(m^— w^,) de l'équation (/) devient ainsi
— 4rAC^)(5 — i) (5 H- i). . .(«-h r)'
ou
-4rA('-) 4r(r+i)A('-)
Le terme de u, dépendant de A^''^*^ produira des termes semblables, et ainsi des autres. En comparant donc dans l'équation (/) les termes qui ont le même dénominateur (^ + i) . . . (^ -f- /•), on aura
o = 4r(r+ i)Af'-) - 4(r+ ijA^^O + AC), ce qui donne
Il est visible, par ce qui précède, que w^ se réduit à l'unité lorsque s est infini, ce qui donne A^"^ = r. De là on tire
i2 12.32 12.32.52 "^ll2
M,= H- -^■^^-:^^ "^ 42.1.2(54- i)(;î+T) '^' 43. 1.2.3(5 + 1) (5 + -2) (5+3) ^ ys-,'
Le rapport du terme moyen du binôme (i + i)^^ au binôme entier est
OU
En nommant donc T ce terme moyen, la formule (B) donnera
st:Us
Ce théorème et l'expression précédente de u^en série sont dus à Stirling, et l'on voit comme ils se rattachent au théorème et à l'analyse de Wallis. Cette valeur de T^ peut servir à déterminer par approximation le rapport de la circonférence au diamètre, ce qui était l'objet de Wallis; ou, ce rapport étant supposé connu, elle donne le terme moyen du binôme, ce qui était l'objet de Stirling.
L'expression de A" s', donnée par la formule (p/) du n° 40 du Livre P'',
a été conclue de l'expression de A"-^., en changeant dans celle-ci i en
— i. Ce passage du positif au négatif est analogue aux inductions que Wallis et d'autres géomètres ont si heureusement employées. Tous ces moyens d'invention, qui tiennent à la généralité de l'Analyse, exigent dans leur usage une grande circonspection, et il est toujours bon d'en démontrer directement les résultats. C'est ce que nous allons faire relativement à la formule {[j/).
Considérons l'intégrale
prise depuis vs = — ce jusqu'à cj = oo . Cette intégrale est égale à — V^— I c-«^^v'-' as r dxn c-'^^^^l-
v^ as r di
Cette constante est
const.
cj étant supposé infini. En la réunissant au terme
dans lequel on doit pareillement supposer cr infini, on aura
r- I ces («*Cj) [() — ro v'— 0' — (l + ro V^-- lY] ]
i { + y/— 1 sin(a5ro) [(i — CT\/— i)' + ( i + gt V'~'")M ) Le numérateur de cette fraction est réel, ainsi que son dénomina-
teur, et il est visible qu'elle devient nulle, en y faisant ct infini ; on a donc
De là il est facile de conclure qu'en faisant i^r , r étant un
nombre entier positif, on aura
Soit rt^CT = ct', et faisons as — q\ nous aurons
dxs' c-^N~^
(ç — gt'v/-i.
les intégrales étant prises depuis cr et ct égaux à — qo jusqu'à cj et ct' égaux à 4- 30 . Désignons par k l'intégrale
on aura
dk ^[ m\ f dr^'c-"^'^-}
dg-'y--n) / 71:.-^
On verra, comme ci-dessus, que ce dernier membre se réduit au terme affecté du signe intégral, terme qui est égal à — ^'; on a donc
dk , Tq - ~ '^'
ce qui donne, en intégrant.
/. = Ac--?,
A étant une constante arbitraire indépendante de q. Il est visible que
OEui-res de L. — VU. 61
cette équation suppose q positif; car, en faisant q infini positif ou négatif, k est infiniment petit. On a donc
flfn7C«-*('-^v^-') A a' s'
Cette équation a lieu, quelle que soit la valeur de a, pourvu que as soit positif. En faisant .y = i et changeant a dans une autre constante a', on aura
on aura donc
ce qui donne
cl ~~- i » 1
/dujc
(l — GTs/-
Pour avoir en séries les intégrales, nous supposerons
(i — cry/— ij nous aurons, en prenant les logarithmes,
— asm\/~\ 4-nlog i+ ^__ (c-«"V-< — i) (<+i) log(i — ^rv'— î)=— ^'•
Déterminons a de manière que, dans le développement du premier membre de cette équation, la première puissance de m disparaisse, et supposons ce développement égal à
nous aurons d'abord
ensuite
/ 4- 1 ne" n f" \ 2
ia- 2 c" — I -i \c" — 1
On a ensuite, par le retour des séries,
acj
on a donc, en prenant les intégrales depuis ct et t égaux à — ce jusqu'à / et CT égaux à -f- oo ,
Si l'on suppose ^ = i, Ai = o et si Ton change a en a , on aura
«=:=, + ., / - 2'(7 + 0' -^ ~ 3]V+ 1)2' '^ - 4T' ^0^' on aura donc
r (iGTc«'('-'=^v-i) c'+< / I \ -7-.— -V-
De là il est aisé de conclure
pas—i I l'a .
a) ^ '' { iSf^'-io^ff" i
/iii-hi) . c« V i<3/^ 12;
formule qui coïncide avec la formule [[jJ) du n*^ 40 du Livre P'".
Cette formule supposer positif, et c'est ce qui a lieu lorsque i -\- i surpasse /?. En effet, si, dans l'équation
/ H- I /ic'«
on suppose a infiniment petit, le second membre est positif et égal à
; ensuite, a étant positif et infini, ce second membre devient
négatif et égal à —s — n; il y a donc une valeur positive de a qui satisfait à cette équation. Mais il n'y en a qu'une; car, s'il y en avait
deux, la fonction —s — - — aurait un maximum entre ces deux
valeurs; on aurait donc à ce maximum
— Liti
ce qui ne se peut, a étant positif. En effet, (c*^ — i)^ est plus grand que
a-(f ou c^ — I >■ «6'% ce qui est visible; car on a
on a donc
nc« n / -f- 1
Ainsi la formule (\l') peut être employée, tant que i -^ i surpasse n, ce qui est conforme à ce que l'on a dit dans le n° 41 du Livre P'', d'après
la considération des passages du réel à l'imaginaire, passages que l'analyse précédente confirme.
La formule {p) du n** 42 du Livre P*" est fort remarquable : elle peut se démontrer de la manière suivante, qui montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences doit être arrêtée, lorsque la quantité sous l'exposant de la puissance devient négative.
Considérons l'intégrale
fx ax ces zx 5
et donnons-lui cette forme
mn ^ -'" , /sin^\« . wtt ^ -'^ , . /s\nx\" ces — / X ax coszx - + sin f x " ax sm zx ) ,
les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini. Supposons d'abord n pair et égal à 21; on aura, par les formules connues.
sinx\ 2*
. \ cosnx — ncos[n — 2jjr h ^ '■ cos{n — ^)x —... J
X J 22«-'jC^'] ^ J. «(n—l) (/l — 2 )...(« — /• 4-
le signe + ayant lieu, si i est pair, et le signe — , si t est impair. En multipliant cette équation par coszx, on aura
, „. , ,. i cosinzt z)x — ncosin ~ li ^ z]x ±:. . .' \
sinjc\2« ,]M ^ ^ ^ ' I
où l'on doit observer que, par cos{n — 2r±: z)œ, je comprends la somme des cosinus cos(/i — ir-[- z)x et cos(w — 2r— z)x, 2r étant ici au plus égal à n ou 21. Multiplions le second membre de cette
équation par x " dx\ on a généralement
- j' X " dx cos[n -- 2r± z)x cosfrt — ■îr± z]x
n — 2.r±z] siii [n — 7.r± z)x
n — 2 ;• ±: z ) 2 ces [n — n-rdo z)x
1 M « — ir ± z
f dx X "cos(/i — ir±zz)x.
On a donc
f X " dx coszx
ni
. Il -i
siti^X "
ces [n ± z]x — Il ces [n — 2 ±: z)x
n[n — i) , / , N — ces [n — ^■±zz)x
cosfdr zx]
' n±zV cosf/i ±: z)x
[n ± z)" cos(n ± z)x
n{n — 2 ±z]" cos [n — 2 ±: z)x
nin — i
const.
fd^
'n — i^±:z)" cos{n — ^±z)x
z" ces it zx
ADDITIONS. kHl
Cette constante doit être déterminée de manière que le second memiire de cette équation soit nul lorsque ce est nul : or on a, par ce qui précède,
cos(« ±: z)x' — /iCOs(n — 'j.± z)x -h . . .::^. { — \y7.^'[s\\^x)" coszx\
En différentiant cette équation par rapport à x, on a
— [( n ±: 3 ) sin [n± z)x — n[n — i± z) sin [n — 2± z)x + . . .\ -I ,w- ,,fl?[(sin^)^cosz^],
différentiant encore, on a
— [( n dz z ) 2 ces {n± z)x — n[n — 'î± z)^ cos {n — ridr: z)x -{-. . .]
et ainsi de suite : or on a, aux deux limites a:- = o et x infini.
X " sinxV'cos^^ ■:^o.
~»- — + i dïisinx]"^ coszrl
ax
On a donc, en intégrant depuis r nul jusqu'à x infini,
^ - - , /sin^\« fx ax coszx 1
S{n rh z]" cos(n± z)x — n{n — 1 ± z]" cos [n -- 2± z)x
^.J ^ Lt^ ^ +
^-— . ^::"cosf±:z^ ]
Maintenanl on a, en faisant {/i — 2r± s)^ =z= x',
J X- " dx[n — 2r±z)"cos(n — '2.rzïiz]x
=:[n — ir±z) "Jdx'x' " cos^'.
On a de plus, comme nous le démontrerons ci-après,
I X ' clx cosx = h sm 5
fx " ax' s\nx = It ces »
k' étant égal à /z " dic\ l'intégrale étant prise depuis l nul jusqu'à / infini. Cela posé, on aura
J X " dx C0S2.r
sin^X"
h sin
n— IH • n—i-i
n-lH n-1-
1 ji[n — i) . . .[n — i -+-1
11 est facile de voir, par l'analyse précédente, que, si /i — s — arest né-
m , m n — H n — IH
gatif, il faut changer la puissance [ii — z — ir) " dans {^r-^z — n) parce que l'on a
cos [n — z — ■:>.r)x z=L ces ( 2 r -f • z — n) x.
On trouvera, par la même analyse,
f X " dx sinz^ (
sina:\ «
n[n + z — 2 )« sin ( rt -j- z — 2 ) j?
fx " dx
m \ m'^ \ — [n — z r Sin n — z]x
« / '^ f+nfn — z — 2]«sin(« — 2 — 2)x
Or on a
fx " [n± z — irYdxs\n[n±: z — ir)x =z[n±z — ir) "A-'cos — -•
Si [n — z — ir) est négatif, on a
fx '^ [n — z — '2rYdx?\n[n— z — 2r)x
z=.—Jx "dx{2r-\-z — r)"sin(2 H- 2 — n]x
T=— (ar + z — n ^' cos — -■
De là on tire
WTT ^ -'^ , /sin.r\« , mTT ^ -^ , . /sina:\«
ces — /:c ''dxco?>zx\ -f- sin x '^dx?>\nzx\ )
in ^ \ X ) in'' \ ^ I
[m tn f X
/l-lH
2«(nH 1 «H 2.-- —
n \ n In
la série étant continuée jusqu'à ce que, dans la puissance
[n -h Z — 2r') ", la quantité n -h z — 2r devienne négative, 2r' pouvant ici s'étendre jusqu'à 2n. En effet, il est visible que dans les expressions des deux termes du premier membre de l'équation («), les
termes relatifs à la puissance (n-\- z — 2r) " sont les mêmes et
—1 '^ s'ajoutent. Les termes relatifs à la puissance {n ~ z ~ 2.r) " sont
les mêmes et de signes contraires, tant que n — z ~ 2r est positif;
OFMvres de L. — VII. 62
mais ils ont le même signe lorsque n -- z — 2r est négatif; et la puissance précédente doit, par ce qui précède, être changée dans
[9.r + z — îi) ". La somme des termes relatifs à cette puissance
est
