r ^ ' ,, . mr
or ce terme se rencontre dans la série du second membre de l'équation (t). Cette série contient le terme
-; ^ /f' sin ■)
n-\- z — ir' étant supposé positif. Si l'on fait n — ir' = ir — n, ce qui donne r' = n ~ r, ce terme devient égal au précédent; car alors on
a (-1)^'=: (!)'• et
fi[n — ') • • • (^— 'll+j] n[n — i). . . [n — r-^ i) I . -2 . 3 . . . r' ~ 1 . 2 . 3 . . . r
La formule (T) du n*' 24 du Livre \^^ donne
r — i^ ^ sm(r~ ilTT
les intégrales étant prises depuis t nul jusqu'à l infini. Si l'on suppose
r — I = — > on aura
tn ni — TT
ft" dt c-( fi " dt c-( = ^
sm — n
Ce que nous avons nommé k dans la formule (/?) du n° 42 du Livre I*"" est égal à ft"-^"* *dtc''", et il est facile de voir que, les intégrales étant
ADDITIONS. Wl
prises depuis t nul jusqu'à t infini, on a
on a donc
nkk
TT
mTT
sin
En multipliant les deux membres de l'équation [i) par et substituant dans le second membre ainsi multiplié, au lieu de nkk' , sa valeur
, on aura la formule (/>) citée.
irn:
sin — n
La même analyse s'applique au cas où n est un nombre impair. Elle montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences
doit s'arrêter, lorsque la quantité élevée à la puissance n — \ -\
devient négative.
Il nous reste maintenant à démontrer les formules
tx "axcosx=k sin ^ — , •^ n
fx " dx' sin x' =. A ' ces — ^ •
Pour cela, considérons l'intégrale définie ' dx c-'^'^
( CCS rx — y/— I sin rx),
celte intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à œ infini ; w étant moindre que l'unité. En la développant par les expressions connues de cosr.x" et de sinr.r, en séries, elle devient
rdxc-'^^r r-X' r'^x* , / r'^x^ r«.r* \'\
Or on a généralement, en prenant l'intégrale depuis oc nul jusqu'à .V infini,
rx'-"^dx C-- ^ (^ - ^) (^ - ^)- • •(^' - ^) rdxc-a-^
En faisant ensuite ax — t, on a
I = ft'^dt C-<: = —
l'intégrale relative à t étant prise depuis t nul jusqu'à t infini, et k' étant supposé exprimer l'intégrale Jt~^dtc~'^, prise dans ces limites. On aura ainsi
d'où l'on tire
rdxc-"^^/ , — . N
{ (i— w) (2 — w) r2 (i co)(2 — m) (3 — m) (4— w) /''' \
Si l'on fait - = ,y, le second membre de cette équation devient
Soit A un angle dont s soit la tangente; on aura
sinA = > cosA = -^;;^=r=^=,
ce qui donne
ces A — \/— I sin A — — * T=— :
d'où l'on tire, par le théorème connu,
cos(i — w)A— V — i sin(i — w)A =
l.a tangente s est non seulement la tangente de l'angle A, mais encore celle (lu même angle, augmenté d'un multiple quelconque de la demicirconférence; mais le premier membre de cette équation devant se réduire à l'unité, lorsque s est nul, il est clair que l'on doit prendre pour A le plus petit des angles qui ont s pour tangente.
Maintenant, cette équation donne, en y substituant - au lieu Aes,
on a donc
— ^^- -,-3-,Jcos(i-a)jA-v/-isin(i-«)Aj;
dx c"'*-^ / / — .
( ces r.r — v — i smr:r
y::— [cos(i — w)A— \j—i sin(i — co)A].
En comparant séparément les quantités réelles et les imaginaires, on a
dx cosrx c-'^-^ k' , \l
— ■ — — — -ces I — w A,
dx sinrjTC""^^ k' . . , .
■ = p— - smi I — 0) A.
X^ l—to \ '
Si a est nul, - est infini, et le plus petit angle, dont il est la tangente,
est -; on a donc
^ dx ç,o%rx k' . or = - — sin —
dx smrx k wtt = — — ces
En supposant /-= i et co = — , on aura les équations qu'il s'agissait de démontrer.
