DIFFÉRENCES FINIES ET INFINIMENT PETITES III

Intégration de l'équation aux différences finies

S - Aj,-H BAj,+ CA2j, + . . .,

A, B, C, ... étant des fonctions rationnelles et entières de s. Si la variable j^ est exprimée par l'intégrale définie fx^(fdx ou par celle-ci fc-^^<^dx, cp étant fonction de X, on a, par les formules du Chapitre précédent, la valeur de j'^ en séries très convergentes, lorsque l'indice s est un grand nombre. Pour déterminer cp, on substitue pour js son expression en intégrale définie, dans l'équation aux différences enjr^, qui se partage en deux autres, dont l'une est une équation différentielle en cp, qui sert à déterminer cette inconnue; l'autre équation donne les limites do l'intégrale définie. N» 29 m

Intégration d'un nombre quelconque d'équations linéaires à un seul indice et ayant un dernier terme, les coefficients de ces équations étant des fonctions rationnelles et entières de cet indice. Cette méthode peut être étendue aux équations linéaires à différences ou infiniment petites, ou en parties finies et en parties infiniment petites. N" 30 117

La principale difficulté de cette analyse consiste à intégrer l'équation différentielle en cp, qui n'est intégrable généralement que dans le cas où l'indice s n'est qu'à la première puissance dans l'équation aux différences enj^-, qui alors est de la forme o = V -f- .vT, V et T étant des fonctions hnéaires de js et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Intégrale de cette dernière équation, par une série très convergente, lorsque s est un grand nombre. Remarque importante sur l'étendue de cette série, qui est indépendante des limites de l'intégrale définie par laquelle r^ est exprimé, et qui subsiste dans le cas même où l'équation aux limites n'a que des racines imaginaires. Lorsque, dans l'équation enj^, s surpasse le premier degré, on peut quelquefois la décomposer en plusieurs équations qui ne renferment que la première puissance de s. On peut encore, dans plusieurs cas, intégrer, par une approximation très convergente, l'équation différentielle en cp. N° 31 121

TABLE DES MATIERES. clxi

l'ages

Intégralion de l'équation

o = V 4- .vT -4- / R,

V, T, R étant des fonctions quelconques linéaires de j .5,5' et de ses différences ordinaires et partielles, finies et infiniment petites.. N° 32 ii5

Chapitre III. — Application des mkthodes précédentes a l'approximation de diverses FONCTIONS DE TRÈS GRANDS NOMBRES I'28

De l'approximation des produits composes d'un grand nombre de facteurs et dèstermes des polynômes élcve's à de grandes puissances 1 28

L'intégrale de l'équation o ={s-^\)Xs — Xs-ii approchée par les méthodes du Chapitre précédent et comparée à son intégrale finie, donne, par une série très convergente, le produit ( [Ji-f- 1) ( [i. -f- 2). . . ,y. En faisant s négatif et passant du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, on parvient à cette équation remarquable

2 TT ( — I ) rdx C^

fxV--^dxc-^

/dx c

la première intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et la dernière intégrale étant prise entre les limites imaginaires de x qui rendent nulle la fonction

/, cos dx . X sin — ^^ 3 prise depuis x

nul jusqu'à x infini. Cette équation donne encore la valeur des intégrales

/aracosnr /'TïTrttLysin

prises depuis m nul jusqu'à xn infini. On trouve — pour ces intégrales; leur accord

avec les résultats du n° 26 prouve la justesse de ces passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire : ces divers résultats ont été donnes dans les Mémoires de

l'Académie des Sciences pour l'année 1782. N" 33 128

Intégrale approchée de l'équation o —{a-\- b' s)ys+i — (<'' -^ ^■c)j\s) d'où l'on tire, par une série simple et très convergente, le terme moyen ou indépendant de a du binôme (an — j • N° 3i 1 37

Méthode générale pour avoir, par une série convergente, le terme moyen ou indépendant de a, dans le développement du polynôme

«-» H- «-"+• -h a-«+2 f- . . . + rt«-i | rt«

élevé à une très haute puissance. N° 3o 1 4o

Expressions, en série convergente, du coefficient do «-', dans le développement de celte puissance, et de la somme de ses coefficients, depuis celui de «-'jusqu'à celui

de a'. N° 36 1 49

Intégration par approximation de l'équation aux différences /?*= .v^^s h- (.»• — ^)J^s^-l• On en déduit l'expression de la somme des termes de la puissance très élevée d'un binôme, en arrêtant son développement à un terme quelconque fort éloigné du premier. N° 37 1 5 1

OF.uvres de L. — VII. 31