II

car alors r deviendrait l'unité, P, deviendrait S/?^, P2, P3, ... seraient nuls. Le poids du résultat ou le coefficient de — a- serait donc, dans le premier cas,

et, dans le second cas, il serait

Or la première de ces quantités surpasse la seconde; en effet,

(S/)/)2 = (P, + Po+...+ P^)2.

Si, dans le développement de ce dernier carré, on substitue, au lieu du produit 2P,P2, sa valeur PJ ^P^ — (P, — V^^, et ainsi des autres produits, on voit que ce carré est égal à rSPJ, moins une quantité positive; il y a donc de l'avantage à partager les équations de condition en plusieurs groupes auxquels on applique la méthode la plus avantageuse.

On voit encore qu'il y a de l'avantage à augmenter le nombre des groupes; car, si l'on suppose r pair et égal à ir\ le poids du résultat relatif au nombre r' de groupes sera proportionnel à

r'[(P4 + P2)2 + (P3 + P4)2 + . . .+ (Pa^.^, + P2;..)2];

et le poids du résultat relatif à ir' groupes sera proportionnel à

2r'(PÎ + Pi+... + P,V).

Cette dernière quantité surpasse la précédente, comme on le voit en observant que

Si les équations de condition renferment plusieurs éléments inconnus, j, y, ..., il y aura toujours de l'avantage à les partager en groupes pour appliquer aux équations résultantes de ces groupes la méthode la plus avantageuse. Plus on multipliera ces groupes, plus on augmentera le poids des résultats.

Mais, de quelque manière que l'on ait obtenu ces résultats, on pourra toujours déterminer, par le théorème suivant, la probabilité de leurs erreurs. Si l'on a, par un procédé quelconque, tiré des équations de condition l'équation j — a = o, il est clair que l'on a multiplié les équations de condition, respectivement, par des facteurs M,, Ma, M3, . .. tels que les inconnues ont disparu, à l'exception de y qui a l'unité pour facteur. L'erreur u du résultat j = « est évidemment M,.2?, -h Mj^a +• ••; 1^ probabilité de cette erreur sera donc, par le n° 20 du Livre II, proportionnelle à

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de i depuis i^^ i jusqu'à f = /i, n étant le nombre des observations. Tout se réduit donc à déterminer, dans le procédé que l'on a suivi, les facteurs M,, M,, —

Si, par exemple, les équations de condition renferment deux inconnues y et y' et si, pour former les deux équations finales, on ajoute ensemble toutes ces équations : i" en changeant les signes des équations dans lesquelles j a le signe — ; 2*^ en changeant les signes des équations dans lesquelles j' a le signe —, on obtiendra, par ce procédé dont on a souvent fait usage, deux équations que nous représen-

terons par les suivantes :

Pj-fR y— a =0, P<jy'-(-R(7' —A, = 0.

En multipliant la première de ces équations par