AR, — A,R

' PR,-PiR~°*

Dans les équations de condition, x^ a été multiplié par ± i ; le signe — ayant lieu si, pour former les équations finales, on a changé les signes de l'équation i'^™". De là il est facile de conclure que, si l'on désigne par 5 le nombre des équations de condition dans lesquelles les coefficients de y et de j' ont le même signe, on aura

^ ^*' - (PRT^PTRp

On simplifiera le calcul en préparant les équations de condition de manière que dans toutes le coefficient de y ait le signe +. On formera ensuite une première équation finale en ajoutant les s équations dans lesquelles le coefficient de y a le signe -f-. On formera une seconde équation finale en ajoutant U^n — s équations dans lesquelles le coefficient de y' a le signe — . Soient

f r + ê r'- If- =0,

ces deux équations. En multipliant la première par ,.- ^* et la se-

seconde par -^ — ^ ^ ? on aura

et il est facile de voir que

S Mf = ^ri^— — ^~{v- '

Ces valeurs dey et de S M"" coïncident avec les précédentes, comme il est aisé de le voir en observant que l'on a

Les équations de condition étant représentées généralement par la suivante

o = xi — ai -+- pty + qif,

si on les multiplie respectivement par m^, m.^, ... et qu'on les ajoute, on aura l'équation finale

o = S rriiXi — S miai H- j S mipt -\- y' S miqi ;

si l'on multiplie ensuite les mêmes équations, respectivement par n^, 112, ..., on aura, en les ajoutant, l'équation finale

o = S ni Xi — S ni ai + j S mpi H- y S mqi. En multipliant la première de ces équations par — ^^ et la seconde

S W/Ot T 'X i ' 1 ^

par — — , - » I étant égal a

S niipi S mçi — S ni Pi S niiqi, on aura

S miûi S mqi — S mai S miqi S miXi S /i,ûr, — S /i/^/ S miQi Ce dernier terme est l'erreur de la valeur que l'on obtient pour/, en

OFMvres de L. — \\\. 72

o70 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

supposant nuls a-,, x^^ ... : on a donc alors

nii S nigt — m S miqi Mi — j ;

d'où il est facile de conclure

en faisant

H =: S mj ['^mqi)- — 2 S w/n/ S mtqi S niqi + S nj (S rmqi)-,

résultat qui coïncide avec celui du n** 21 du Livre II, dans lequel nous avons prouvé que le maximum du coefficient de — u^ dans cette exponentielle a lieu lorsque l'on suppose généralement mi^=^ pi^ n^^^ qi\ cette supposition donne donc le résultat le plus avantageux ou celui dont le poids est un maximum.

On déterminera la valeur de —rj, au moyen des carrés des restes qui

ont lieu lorsque l'on substitue dans les équations de condition les valeurs déterminées pour y et j'. En désignant par ti ce reste dans la jième équation de condition

oz=^Xi — ai + Pi y + qiy', et désignant par u et u' les erreurs de ces valeurs, on aura

o = .r/ + zi — piu — qiu'; ce qui donne

S gf 3= S x'j — -2 a S piXi — 2 m' S qtxi + a^ èpj ■+■ 2 uu' S piqi •+- u'- ^ qf.

On a, par le n° 19 du Livre II,

If" k

ensuite, les valeurs u et u' cessent d'être vraisemblables, lorsqu'elles surpassent des quantités de l'ordre -=■ Les valeurs de ^PiOOi et S^,^/ cessent d'être vraisemblables lorsqu'elles surpassent des quantités de

l'ordre \//i; les valeurs de — 2a S/?,^, et —2u'^qiXi cessent donc d'être vraisemblables lorsqu'elles cessent d'être d'un ordre fini, n étant supposé infiniment grand. S/?J, S/?,^, et S^' étant de l'ordre n, les valeurs de u- SjoJ, luu'^piqi, u'^ Sq] cessent d'être vraisemblables lorsqu'elles cessent d'être des quantités finies. On peut donc négliger toutes ces quantités et supposer, quel que soit le procédé dont on fait usaffe,

S er = ^ n,

ce qui donne

2. Les méthodes précédentes se réduisent à multiplier chaque équation de condition par un facteur et à ajouter tous ces produits pour former une équation finale. Mais on peut employer d'autres considérations pour obtenir le résultat cherché : par exemple, on peut choisir celle des équations de condition qui doit le plus approcher de la vérité. Le procédé que j'ai donné dans le n° 40 du Livre III de la Mécanique céleste est de ce genre. En supposant les équations {b) du numéro précédent préparées de manière que/?,, jo^, /?3, ... soient positifs et que les valeurs --, — » ••• de j, données par ces équations dans la supposition de x^,x^, ... nuls, forment une série décroissante, le procédé dont il s'agit consiste à choisir l'équation de condition r^^™% telle que l'on ait

/7| -+- /72 -+-• • H- Pr-\ <C Pr + Pr+i -h . . ■ -h pn, Pi-\- p2-\-- ■ ■+ Pr > Pr4-^ + Pr+2 + . • . -4- /?«,

et à supposer

Cette valeur de y rend un minimum la somme de tous les écarts des autres valeurs, pris positivement; car, en nommant .r,, x.^, ... ces écarts, x,, x.^, ..., ^r, seront positifs et x^^t, x^^^, -.., x^ seront négatifs. Si l'on accroît la valeur précédente de y de la quantité infini-

ment petite By, la somme des écarts positifs x,,x.,,..., x,, diminuera de la quantité

mais la somme des écarts négatifs, pris avec le signe -h, augmentera de la quantité

•^r (/?/•+! + Pr+2-h...-\- pn);

l'écart x^ deviendra pr fy. La somme des écarts, pris tous positivement, sera donc augmentée de la quantité

^riPr + Pr+i -h...-h pn- Pi- p.2—...-pr^,);

par les conditions auxquelles le choix de l'équation r^^"^^ est assujettie, cette quantité est positive. On verra, de la même manière, que si l'on diminue -^ de By, la somme des écarts pris positivement sera augmentée de la quantité positive

Ainsi, dans les deux cas d'un accroissement et d'une diminution de la valeur ~ dey, la somme des écarts, pris positivement, est augmentée. Cette considération semble donner un grand avantage à la valeur précédente de j, qui, lorsqu'il s'agit de choisir un milieu entre les résultats d'un nombre impair d'observations, devient le résultat équidistant des extrêmes. Mais le Calcul des probabilités peut seul faire apprécier cet avantage; je vais donc l'appliquer à cette question délicate.

Les seules données dont nous ferons usage sont que l'équation de condition

o = ar, — a,- •+- prf

donne, abstraction faite des erreurs, une valeur de y plus petite que les r — I équations antérieures et plus grande que les n — / équations postérieures; et que l'on a

/?t-H;>2 +.. .+ pr-,< Pr -^ pr+i + • • • + /?«, Pi -^ p2~h.. . ^- Pr > pr+i -+- pr+2 +...+ /?«•

On a

ce qui donne

ar Xr

Pr Pr

ar Xr

Pr Pr

Ainsi, — surpassant — ) — surpasse — • lien est de même de —,~, •••

Pi ^ Pr P* Pr />2 fs

jusqu'à -^^. On verra de la même manière que -^^, — ^^, •••, —

"• ^ Pr-\ ^ Pr+\ pr+2 Pu

sont moindres que — • Ainsi, les seules conditions auxquelles nous

assujettirons les erreurs et les équations de condition sont les suivantes :

OC ^ JC y

Ps Pr

Pi-\- P2-+-- . .+ pr-K < Pr + pr+\ +...-!-/?«, p\-\- p2-\-. . .+ Pr > pr+i + Pr+2 + • • • + p,i.

C'est uniquement d'après ces données des observations que nous allons déterminer la probabilité de l'erreur x^. Nous n'aurons d'ailleurs aucun égard à l'ordre qu'observent entre elles les r— i premières équations de condition et les n — r dernières, ni aux valeurs des quantités «,,

Représentons, comme ci-dessus, par <!^(oc) la loi de probabilité de l'erreur x des observations et, pour exprimer que cette probabilité est la même pour les erreurs positives et négatives, supposons ç(^) fonction de x^.

Maintenant, si l'on suppose Xr positif, la probabilité que x^ surpassera /?, — sera

\ ^fdx(f{x) 2 k

l'intégrale fclx(f[x) étant prise depuis x=o jusqu'à x = p,— et ^

étant, comme ci-dessus, cette intégrale prise depuis x nul jusqu'à x

infini. La probabilité que les quantités — > — ^ ..,^^^ seront toutes

Pi Pi Pr-\

plus grandes que — est donc proportionnelle au produit des r — i facteurs

fdxj[x) fdx(f>{x)

l'intégrale du premier facteur étant prise depuis ce = o jusqu'à x=pt—; l'intégrale du second facteur étant prise depuis x = o jus-

qu'à œ = po — ; et ainsi de suite.

" Pf-

Pareillement, toutes les quantités — ^^) ^±i, ..., l' étant supposées

^ />, + , pr^2 Pu ^*

plus petites que — > on voit, parle même raisonnement, que la probabilité de cette supposition est proportionnelle au produit des n — r facteurs

Sdx<i^{x) fdxcpjx) I -i- : ) I H ; , . . .•

l'intégrale du premier facteur étant prise depuis ac = o jusqu'à X = pr+i — > celle du second facteur étant prise depuis 07 = 0 jusqu'à

X = pr+^—i et ainsi de suite. La probabilité de l'erreur x^ est ^{oc^) ;

ainsi la probabilité que l'erreur de la r^*"^^ observation sera x^ et que la valeur de y donnée par la r*^™^ équation sera plus petite que les valeurs données par les équations précédentes, et surpassera les valeurs données par les équations suivantes, cette probabilité, dis-je, sera proportionnelle au produit des n — i facteurs précédents et de ^[ocr). X étant supposé très petit, on a, aux quantités près de l'ordre x'*,

fdx(^{x) = X (p(o) -+- ^x"^ ?'(o), f/oi oc I

9'(o) étant ce que devient ~~r-' lorsque x est nul. Dans la question présente, <^(oo) étant une fonction de x"^, on a 9'(o) == o, et alors on a

f dx 9 ( ^ ) = ^ 9(0)-

SUPPLEMENTS.

Les facteurs précédents deviendront ainsi, en faisant -^ = C

l — pr-^'C>

J2 ni x\

Si l'on désigne par ^"(o) la valeur de jy, lorsque j^^ est nul, 9(a?^) devient

La somme des logarithmes hyperboliques de tous ces facteurs est, aux quantités près de l'ordre l\ en divisant le facteur 9 (^r,.) par 9(0),

ça

p\-\- p2-\- ■ • -^ Pr-\ — Pr+\ — Pr-k-i — . ■ .— Pn)

\^-^]\p\-^Pl-^-

La probabilité de'C est donc proportionnelle à la basée des logarithmes hyperboliques, élevée à une puissance dont l'exposant est la fonction précédente. On doit observer qu'en vertu des conditions auxquelles le choix de l'équation r'^™*' est assujetti, la quantité

/>( + />2 H- • • • -^ Pr-{ — Pr+t — Pr+1 — ... — />«

est, abstraction faite du signe, une quantité moindre que />^, et

qu'ainsi, en supposant Z, de l'ordre --, le nombre n des observations étant supposé fort grand, le terme dépendant de la première puissance de l, dans la fonction précédente, est de l'ordre -^; on peut

donc le négliger, ainsi que le dernier terme de cette fonction. En désignant donc par S/?J la somme entière

la probabilité de "C sera proportionnelle à

'Ç ou — étant l'erreur de la valeur — donnée pour y par l'équation

^iéme Ljj valeur donnée par la méthode la plus avantageuse est, par le

numéro précédent,

S Pi ai

et la probabilité d'une erreur Z dans ce résultat est proportionnelle à

k" étant toujours l'intégrale fcc^dx <^{cc), prise depuis x nul jusqu'à .X infini. Le résultat de la méthode que nous venons d'examiner, et que nous nommerons méthode de situation, sera préférable à celui de la méthode la plus avantageuse, si le coefficient de —Z^, qui lui est relatif, surpasse le coefficient relatif à la méthode la plus avantageuse, parce qu'alors la loi de probabilité des erreurs y sera plus rapidement décroissante. Ainsi, la méthode de situation doit être préférée si "on a

dans le cas contraire, la méthode la plus avantageuse est préférable. Si l'on a, par exemple,

(f[x] =zC-^'^'

k devient ^^— et X:" devient - - -\ ce qui donne ri, ~ ^A. La quantité îi^^ devient — ; or on a 2/i > — -, la méthode la plus avantageuse