L A' J TC TT
doit donc alors être préférée. ^
En combinant les résultats de ces deux méthodes, on peut obtenir un résultat dont la loi de probabilité des erreurs soit plus rapidement décroissante. Nommons toujours ^ l'erreur du résultat de la méthode de situation, et désignons par s' l'erreur du résultat de la méthode la plus avantageuse. Le prcFTiier de ces résultats est, comme on l'a vu,
--, et le second est -f-J- Si l'on désigne S/?,^, par /, „— ^ sera l'er-
Pr 5 Pi ^ Pi
reur de ce dernier résultat; ainsi l'on aura /=(^'S/?J. La probabilité de l'existence simultanée de / et de "Ç est, par le n** 21 du Livre II, proportionnelle à
l'intégrale relative à w étant prise depuis co — — û jusqu'à eu = ?:. L'intégrale relative à x, dans le facteur fdx (^{œ) c^'i^'^^^^', doit être prise, par ce qui précède, depuis ,x = p, l jusqu'à ^ = ao. En développant ce facteur suivant les puissances de x, il devient
fdx(f>{x)-^pi (ù\/ — I fxdx(i){x) — p'\ — fx"^ dx Qj)[r] -{-
En prenant l'intégrale dans les limites précédentes, on a, aux quantités près de l'ordre ^%
fdx(f{x) = /»- — /;,? 9(0).
En négligeant pareillement les quantités des ordres (^*a), 'C^a)^ ..., on a
pi(ù\/—ifxdx <^{x) = /r'/;,(o v'— I» — ^* u'^fx^ dx (f{x) --= /?;«'-,
/;' étant l'intégrale Jxdx <:^(x) prise depuis x — o jusqu'à ^r infini. Le
' OMiH'res de L.— VU. 73
facteur dont il s'agit devient donc, en négligeant w% conformément à l'analyse du numéro cité du Livre II,
j rr
A- — /?,Ç 9(0) + /f'/?,wy — I — — ;;2w2.
Son logarithme hyperbolique est
cp(o) k' . h" .. , PtTvÇIo) k' I 12
-;>,Ç^ + -^/.,o)v'-i-^/>I«2-^|^Ç^^-i-a)v/-iJ +log/r.
En changeant/?, successivement en /?2, /?3, ...,/7^,, on aura les logarithmes des facteurs suivants, jusqu'au facteur relatif à pr^^.
Dans le facteur/</^9(a;)c^r+i-^"v/-<^ l'intégrale doit être prise depuis •^ = — 30, jusqu'à^ —p^^^X,', alors/^â^j7(p(^) devenant — k', le logarithme de ce facteur est
Pr-^i K -J J Pr+i «" V — ' — ^ Pr+\
PL
On aura les logarithmes des facteurs suivants en changeant yo^^, successivement en /7^+2» Pr+iy "-y Pa- Lc factcur 9(/?^^)c^'-'^'^v^-' est égal à
fcpfo) + ^1 9"{o) c/'rCwv^, et son logarithme est
Maintenant, si l'on rassemble tous ces logarithmes, si l'on considère ensuite les conditions (c) auxquelles l'équation r'^^^ est assujettie, enfin si l'on repasse des logarithmes aux nombres, on trouve, en négligeant ce qu'il est permis de négliger, que la probabilité de l'existence simultanée de /et de s est proportionnelle à
En faisant donc
la probabilité de l'existence simultanée de l et de C sera proportionnelle à
c 2 L * J ** Jdfùc ^ ^* '.
Par l'analyse du n" 21 du Livre II, l'intégrale relative à w peut être prise- depuis a)= — oo jusqu'à co — ce, et alors la probabilité précédente devient proportionnelle à
expression que l'on peut encore mettre sous cette forme
Si l'on nomme e l'excès de la valeur de r donnée par la méthode la plus avantageuse sur celle que donne la méthode de situation, on aura *( = ^'— e. Supposons
la probabilité de u sera proportionnelle à
le résultat de la méthode la plus avantageuse doit donc être diminué de la quantité
[o] r^pH A;^ 1
k L If i^"\
et la probabilité d'une erreur u, dans ce résultat ainsi corrigé, sera proportionnelle à l'exponentielle précédente. Le poids du nouveau
résultat sera augmenté, si ?^1 - ^ n'est pas nul; il y a donc de
l'avantage à corriger ainsi le résultat de la méthode la plus avantageuse. L'ignorance où l'on est de la loi de probabilité des erreurs des observations rend cette correction impraticable; mais il est remarquable que, dans le cas où cette probabilité est proportionnelle à r-^-^', c'est-à-dire où l'on a cp(^) = c-^-^\ la quantité ?-^l ^ soit nulle.
Alors le résultat de la méthode la plus avantageuse ne reçoit aucune correction du résultat de la méthode de situation, et la loi de probabilité des erreurs reste la même.
(Février 1818.)
