TROISIÈME SUPPLÉMENT
APPLICATION DES FORMULES GÉODÉSIQUES DE PROBABILITÉ A LA MÉRIDIENNE DE FRANCE.
L La partie de la méridienne qui s'étend de Perpignan à Fermentera s'appuie sur une base mesurée près de Perpignan. Sa longueur est d'environ 466*"", et sa dernière extrémité est jointe à la base de Perpignan par une chaîne de vingt-six triangles. On peut craindre qu'une aussi grande longueur, qui n'a point été vérifiée par la mesure d'une seconde base vers son autre extrémité, ne soit susceptible d'une erreur sensible provenant des erreurs des vingt-six triangles employés à la mesurer. Il est donc intéressant de déterminer la probabilité que cette erreur n'excède pas 4o™ ou 5o™. M. Damoiseau, lieutenantcolonel d'Artillerie, qui vient de remporter le prix proposé par l'Académie de Turin, sur le retour de la comète de lySgjUbien voulu, à ma prière, appliquer à cette partie de la méridienne mes formules de probabilité. Ici la méridienne ne coupe point tous les triangles, comme nous l'avons supposé pour plus de simplicité; mais il est facile de voir que l'on peut appliquer, aux angles formés par les prolongements des côtés des triangles avec la méridienne, ce que j'ai dit sur les angles que ces côtés formeraient s'ils étaient coupés par la méridienne. M. Damoiseau a trouvé ainsi qu'à partir de la latitude du signal de Busgarach, un peu plus au nord que Perpignan, jusqu'à Formentera, ce qui comprend un arc de la méridienne d'environ 466006™, et en prenant pour unité la base de Perpignan, on a (deuxième Supplément, n° 1 )
La probabilité qu'une erreur dans la mesure de cet arc est comprise dans les limites ± s devient, par les formules du même numéro,
l'intégrale étant prise depuis / nul jusqu'à la valeur de t égale à
n -h I étant le nombre des triangles employés, et G^ étant la somme des carrés des erreurs observées dans la somme des trois angles de chaque triangle; t. est le rapport de la circonférence au diamètre. En prenant pour unité la seconde sexagésimale, on trouve
Mais, le nombre des triangles employés n'étant que 26, il est préférable de déterminer par un plus grand nombre de triangles cette constante 6' qui dépend de la loi inconnue des observations partielles. Pour cela, on a fait usage des cent sept triangles qui ont servi à mesurer la méridienne depuis Dunkerque jusqu'à Fermentera. L'ensemble des sommes d'erreurs observées des trois angles de chaque triangle est, en les prenant toutes positivement, égal à 173,82. La somme des carrés de ces erreurs est 445,217. En la multipliant par^j^, on aura, pour la valeur de8^
Cette valeur, qui diffère peu de la précédente, doit être préférée. 11 faut réduire 6 en parties du rayon pris pour unité, ce que l'on fera en le divisant par le nombre de secondes sexagésimales que ce rayon renferme. On aura ainsi
s est une fraction de la base de Perpignan prise pour unité. Cette base
est de I i7o6'",4o. En supposant donc l'erreur de ôo*", on aura
Cela posé, on trouve, pour les probabilités que les erreurs de l'arc de la méridienne dont il s'agit sont comprises dans les limites ± 60°', ± 5o'", ± 40™, les fractions suivantes :
1743696 3^346 ii65
Il y a un contre un à parier que l'erreur tombe dans les limites ±8'», 0757.
Si la Terre était un sphéroïde de révolution et si les angles de tous les triangles étaient exacts, on aurait exactement l'inclinaison du dernier côté de la chaîne des triangles sur sa méridienne, en supposant donnée cette inclinaison relativement à la base. La probabilité que l'erreur de la première de ces inclinaisons, provenant des erreurs des angles observés des triangles, est comprise dans les limites ± fOi est, par ce qui précède,
l'intégrale étant prise depuis t nul : ces limites deviennent, en substituant pour 0 sa valeur précédente, d=/6", 8997, les secondes étant sexagésimales. De là il suit qu'il y a un contre un à parier que l'erreur tombe dans les limites ± 3", 2908. Si les observations azimutales étaient faites avec une grande précision, on déterminerait par ce moyen la probabilité qu'elles indiquent une excentricité dans les parallèles terrestres. Si l'on mesurait, sur la côte d'Espagne, une base de vérification égale à la base de Perpignan, et qu'on la joignît par deux triangles à la chaîne des triangles de la méridienne, on trouve, par le calcul, qu'il y a un contre un à parier que la différence, entre cette base et sa valeur conclue de la base de Perpignan, ne surpassera pas un tiers de mètre : c'est, à fort peu près, la différence de la mesure de la base de Perpignan à sa valeur conclue de la base de Melun.
On a vil, clans le numéro cité, que, les angles des triangles ayant été mesurés au moyen du cercle répétiteur, on peut supposer la probabilité d'une erreur x dans la somme observée des trois angles de chaque triangle proportionnelle à l'exponentielle c-'^'^S X: étant une constante. De là il suit que la probabilité de cette erreur est
dx sjk C-* '^'
Kn multipliant cette différentielle par x et l'intégrant depuis x nul
jusqu'à X infini, le double de cette intégrale sera la moyenne de toutes
les erreurs prises positivement. En désignant donc par £ cette erreur
moyenne, on aura
On aura la valeur moyenne des carrés de ces erreurs en multipliant par .r^ la différentielle précédente et en l'intégrant depuis x = — y:^ jusqu'à X infini. En nommant donc z.' cette valeur, on aura
de là on tire
On peut ainsi obtenir 0* au moyen des erreurs, prises toutes en plus,
des sommes observées des angles de chaque triangle. Dans les cent
sept triangles de la méridienne, la somme de ces erreurs est 178,82;
i"3 81 on peut ainsi prendre, pour £, -'-'-; ce qui donne, pour 26e' ou
pour 6^,
cela diffère très peu de la valeur 108,1 34 donnée par la somme des carrés des erreurs de la somme observée dei sept triangles. Cet accord est remarquable.
carrés des erreurs de la somme observée des angles de chacun des cent
On peut apprécier l'exactitude relative des instruments dont on fait usage dans les observations géodésiques, parla valeur de £' conclue d'un grand nombre de triangles. Cette valeur, conclue des cent sept triangles de la méridienne, est ^^ ou 4,1609. La même valeur, conclue des quarante-trois triangles employés par La Condamine dans la mesure des trois degrés de l'équateur, est -^ ou 39,9,53, et, par
conséquent, près de dix fois plus grande que la précédente. Les erreurs également probables, relatives aux instruments employés dans ces deux opérations, sont proportionnelles aux racines carrées des valeurs de £'. De là il suit que les limites ± 8^,0937, entre lesquelles nous venons de voir qu'il y a un contre un à parier que tombe l'erreur de l'arc mesuré depuis Perpignan jusqu'à Formentera, auraient été :±25™,o22 avec les instruments employés par La Condamine. Ces limites auraient surpassé ± 40™ avec les instruments employés par La Caille et Cassini dans leur mesure de la méridienne. On voit ainsi combien l'introduction du cercle répétiteur dans les opérations géodésiques a été avantageuse.
2. Pour donner un exemple très simple de l'application des formules géodésiques, je vais considérer la droite AA('^ dont on a déterminé la
longueur par la cbaîne des triangles C0*^0^\ C^*^0^^0^\ .... Je supposerai tous ces triangles égaux et isoscèles,et tels que leurs bases CC^^'^ O'^O^K ... soient parallèles à la ligne AA^'\ On aura, en abaissant sur
OF.uvres de L.~ \n. 7^.
cette ligne les perpendiculaires CI, 0'4^'\ . . .,
II(" = CC^'')cosÂ('),
^^ ^ - sinC(')C(2)C
1(1)1(2) — C(OC(2)cosA(2),
C("C(2)sinC(2)C(*)C(3)
sinC(2)C(3)C(')
et généralement
j{,-)j(/+i) (](i)C(/+i) cosA('+'),
Cji) C('+' ) sin C('+' ) C^'^ C('+2)
(]('+" Cf''^-' =
sinC('"+')C<'+=')C(')
Soient a^** et ^^*^ les erreurs des angles opposés aux côtés GC^'^ et C^'^C^-' dans le premier triangle. Soient a<2) et €^^^ les erreurs des angles opposés aux côtés C'^G^'^ et G^'^G'^'^ du second triangle, et ainsi de suite. En désignant par o une variation relative à ces erreurs, on aura
l(t)l(tvi) C(''C('+')
ÔC(OC(^ ÔÇ(OCa-n eolC('--)C(^--ocu-)
CfOC"^') C(')C('-"
— a(''colC'')G('+')C('-<'.
On a encore, en supposant les angles A^'^ relatifs aux angles aigus que les côtés des triangles forment avec la ligne AA''^ . . .,
â^(e+i ) + §\a) + ÔC('-' ) €('■' Gf'+' > = o ;
nous supposerons ici que les erreurs a''' et ê^'' des angles G^'+^G^'-'U^c^ Q{i)ç^(i+\)(^{i-i) du triangle O'-'^G^'^G"-^'^ sont celles qui restent, lorsqu'on a retranché de chaque angle du triangle le tiers de la somme des erreurs des trois angles. Alors on a
aG('-<)C(')G('+')=-a('^— ê('>,
ce qui donne
on aura donc
+ g(0 6('-')-l- ê('-2)...qiên)±aA('),
le signe supérieur ayant lieu si i est pair, et l'inférieur si i est impair. On aura ensuite, en observant que
cotC(''C<'-«^C('+')=:colC(''C('+')C('-'> = colA(''^ etque A('^ = A('',
on aura donc
'^^^'^^^'^'^ ôCC(^ .j g(^., ) + . . . + 6(') - a(') - «('-') - . . . - a( ' )) col A( ' )
^ a(') — «('■-' ) + . . . q= «^ " + ê<''' — 6('-» ' 4- . . . + êf < ' ±: ÔA(''] laiig A' ".
Supposons maintenant que l'on ait mesuré une base AG située de manière que l'angle CAA''^ soit égal à l'angle CA^'^A. Le premier de ces angles détermine la position de la ligne AA''^ par rapport à la base, et il est supposé connu. En nommant a et ê les erreurs des angles CGc^AetCAC", onaura
Faisons
= g colCAGC' - a cotCC(" A.
cotCACO =colA -H A, cotCC(»'A = coiA 'h h';
nous aurons, en désignant par b la base AG et par« la droite 11"^
■lasmA sinaA
2 6siiiAcos-A sin?.A
o88 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
nous aurons ensuite
_____ = (êf')+ êa-n + . . .+ g «(0«a-,). . . ^) coiA
- (aC) - a(*-<) 4- . . .± a: -1- g(') - g('-') + . . . ±: g) tangA + Aê - h'oc.
La variation de la longueur totale IF'^'^ sera donc
aïK'+Ozz: [(f + i) (g a) + i(g(0 a(0) + . . . + (g(0 «('))]« cet A
+ (/ -h i)/iûrê— [i + i)li'aa.
— (a<''^ + «('-2) + a('-^^-f-.. .-{-gi') + g(''-2) + g^'-'') + ...)«iangA.
La quantité
p- — pq -h q^ -\- pH)2 — pH)qH)^ ^(<)2-l-. . . -{- piO^ — pH) gU) -i- ^(02 devient ainsi, en négligeant les termes de l'ordre i,
^ '^ —^ '-a^ col^A + 3[h -h h') [i + i]ia^ coiA
+ [h^-^ lih'+h'^]{i-^i]^a^.
Nommons Q cette quantité ; la probabilité que l'erreur de la ligne IF'^' est comprise dans les limites ±^ sera, par ce qui précède,
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
0* étant la somme des carrés des erreurs de la somme des trois angles des i-\- T triangles.
Supposons que l'on ait, comme pour la partie de la méridienne dont nous avons parlé précédemment, vingt-six triangles, ce qui donne i — 1^. Supposons encore que la longueur ir'+'> soit celle de cette partie de la méridienne ou de 466006™; alors on aura
En prenant pour unité la base mesurée près de Perpignan, qui est de 1 1706^,40, et en supposant rectangles les triangles isoscèles CCC'''^ C(<)C(2)Q(3)^ . . ., ce qui donne tangA = cotA = i, on trouve
On a vu précédemment que les vingt-six triangles qui joignent la base de Perpignan à Formentcra donnent
Qz=z\835o,6;
ces deux valeurs de Q sont très peu différentes, et comme les erreurs également probables sont proportionnelles aux racines carrées de ces valeurs, on voit que l'on peut parier un contre un que les erreurs de la mesure entière sont comprises dans les limites ± 8™, i. Sous ce rapport, le cas que nous examinons représente parfaitement la mesure de l'arc du méridien depuis la base de Perpignan jusqu'à Formentera.
3. Supposons maintenant que l'on mesure, vers la dernière extrémité de la ligne IV'^'\ une base C'+'^A^'^^^ égale à la base CA, et posée de manière que l'angle 0'+*^G<'>A('+=" soit égal à l'angle CO'K\, et que l'angle O'^A^^-^^-)^^-^*) soit égal à l'angle CAO'K En désignant par a^'-') et g('+*' les erreurs des angles C('^'>G('U('+=^' et C<')A('+2)q/+.)^ l'équation
donnera
ce qui donne
ÔC('+<)A('+2)
CÔ^TTÂTffïr = (^'*^^- ^^''-^- • •-<- S'''- «^''- a^'^-- • •- a^'^) colA
+ ê(// + colA) — oc{h'-{- cotA)
-f- a('+<)(/t'H- colA) — êf'+'>(/j + colA).
Ce que nous avons désigné dans le n** 2 du deuxième Supplément par
/, /'", . . ., m, m"s . . . devient
lii) =z—b, mC) =b
la quantité que nous avons désignée par S/'*^^ dans le numéro cité ou par
devient ici
La quantité que nous avons nommée Sr''*/''^ dans le même numéro, ou
devient, en négligeant les termes qui n'ont pas i pour coefficient,
^iL±llll^t^ab + 3{i + i) [h -h h')ab + {i + i] [h^- -h h/i' + h'-)ab;
en représentant donc, comme ci-dessus, par X l'excès de la base mesurée O'+^'A^''^'*' sur la base calculée, et par s l'excès de la longueur vraie de la ligne 11"+*^ sur cette longueur calculée, on aura
X S r( '•)/(') (t 4-i)aX,
il faut, par conséquent, ajouter à la longueur calculée de la ligne 11"'^'^ le produit de X par le rapport de la moitié de cette ligne à la base b ; ce qui revient à calculer la première moitié de la ligne ir'+') avec la base AC, et la seconde moitié avec la base A""^^'0'"^''. Ce procédé serait généralement exact, quelles que fussent la grandeur et la disposition des triangles qui unissent les deux bases, si les parties de Sr*''/'" et de S/"^^ correspondantes à ces moitiés étaient respectivement égales. C'est le procédé que nous adoptâmes dans la Commission qui fixa la
longueur du mètre; et, dans l'ignorance où nous étions alors de la vraie théorie de ces corrections, il était le plus convenable; mais il ne faisait pas connaître la correction des diverses parties de l'arc total IF'^''. Pour cela, il est nécessaire de corriger les angles de chaque triangle, ou de déterminer les corrections a, ê, a^'^ êf'\ ... qui résultent de l'excès X de la seconde base observée sur cette base calculée d'après la première. J'ai donné, dans le deuxième Supplément, ces corrections, en supposant la loi des erreurs des observations des angles
proportionnelle à l'exponentielle c ^ ^ \ k étant une constante, T étant la somme des erreurs des trois angles du triangle, a -+- ^T, g + iX et {T — a — ê étant les erreurs de chacun des angles. On a vu, dans le Supplément cité, que la supposition de cette loi de probabilité doit être admise lorsque les angles ont été mesurés avec le cercle répétiteur, et qu'alors on a
a(^)= jr- l,
en désignant par F la somme de toutes les quantités P — ml+m-,
/(<)2 ;^(«)/(») { /(<)2^ Je vais démontrer ici que ces corrections ont
lieu, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs.
Pour cela, je désigne cette loi par ^(a-hiT)^' : en la supposant la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives, son expression ne doit renfermer que des puissances paires de ces erreurs. La loi de probabilité des valeurs simultanées de a et de € sera ainsi proportionnelle au produit
Si l'on développe ce produit, par rapport aux puissances de a et de ê, en s'arrêtant aux carrés et aux produits de ces quantités, on aura
[?(ïïT^-)? + («'-+-«=-+- S') ?(iT=^)
9'(a;) exprimant -^J^^ et f{œ) exprimant ^-^-•- T pouvant être
supposé varier depuis —oc jusqu'à T = co, on multipliera la fonction précédente par dT et on l'intégrera dans ces limites; on aura ainsi pour la probabilité des valeurs simultanées de a et de ê une quantité de la forme
H -H'(a- + aê + ê2).
Cette probabilité sera donc proportionnelle à
I— -y («2 + aê + ê2).
La probabilité de l'existence simultanée de a, ê, a'", è^*\ ... sera proportionnelle au produit des quantités
'-jf( «'-+-«€-+- 62),
Le logarithme de ce produit est, s étant un nombre indéterminé,
— jj S(aW2,aWg(,) + gU)2j .. -
ce produit est à son maximum si le terme précédent est à son minimum, ou si la fonction
est la plus petite possible, les quantités a, ê, a<", . . . satisfaisant d'ailleurs à l'équation
l = lci-h m§ + /(Oa(0 f. ^(og(0,
On peut donner à cette fonction la forme
cette fonction est évidemment à son minimum si l'on suppose
2 g(^^ + oi^s) — o, oc^s] L i^ 1 = o ;
d'où l'on tire généralement
ocis) =: [lis) |m(^)) |, ê(^) = (m(^' - ^/(^)) j..
Dans le cas que nous venons de considérer, on a
aC) =a(2) = ... = a('^
ocU+^) = ':-^{-^^h'^Ui)^ ê(o = ^(| + /i + ^/j');
ainsi par ces corrections tous les triangles autres que ceux qui ont une des bases pour un de leurs côtés resteront rectangles.
La probabilité de l'erreur ±u de la ligne 11''"^'^ corrigée par la seconde base, sera, parle numéro cité du deuxième Supplément,
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
qui devient ici
en désignant par Q' la fonction
Les erreurs également probables étant proportionnelles aux racines
OF.uvres de L. — VU. 75
carrées de Q et de Q', on voit qu'elles sont diminuées et à peu près réduites de moitié par la mesure d'une seconde base.
La probabilité d'une erreur =b X dans la mesure d'une seconde base est, par le deuxième Supplément,
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
/ L±l et /" '^ est égal à
3 ( / -f- 1 ) 62 + 6 ( ^ 4- /<') 6^ -f '2 ( /i2 + hh' -+- /t'2 ) 62.
Dans le cas présent où i ■= 25, cette quantité devient
les erreurs également probables dans les mesures de l'arc II''*''^ et d'une nouvelle base égale à la première sont donc dans le rapport de V^Q à v/86,8o3o; d'où il suit qu'il y a un contre un à parier que l'erreur d'une nouvelle base sera comprise dans les limites =t o™, 34286,
ou à très peu près ± -^' Ce sont les mêmes limites qui résultent des
angles des vingt-six triangles qui unissent la base de Perpignan à Formentera. Ainsi, sous ce rapport encore, le cas hypothétique, que nous venons d'examiner, s'accorde avec ce que donne cette chaîne de triangles.
4. Je vais maintenant considérer les distances zénithales des sommets des triangles et le nivellement qui en résulte. D'un même sommet tel que 0*', on peut observer les quatre points C, C'*^ G^^', C^^^ Nommons /la distance CG '' et h la base GG^'*' du triangle isoscèle; tous les triangles étant supposés égaux, si l'on nomme a;'' la hauteur de G"' au-dessus du niveau de la mer, la distance observée de G'"^' au zénith de G*'' étant désignée par ô, la distance vraie sera à fort peu près, les
triangles pouvant être supposés horizontaux,
liu liz
u étant le facteur par lequel on doit multiplier l'angle ^ pour avoir la réfraction terrestre au point 0'\ R étant le rayon de la Terre et t étant Terreur de u. Je ne tiens compte ici que de cette erreur, comme étant beaucoup plus grande que celle de 0. Si l'on nomme pareillement 0' la distance zénithale de 0'\ observée de 0'-='^ la distance vraie sera
lui lit'
£' étant l'erreur de u dans cette observation. On aura
on aura ensuite
iliu h. ,s II,
Si l'on nomme pareillement 0" la distance zénithale de O'-'' observée de 0'\ la distance vraie sera
£" étant l'erreur de u dans cette observation. En nommant encore 6'" et £"'les mêmes quantités relatives à la distance zénithale de O", observée de C''"", on aura
Comme je ne me propose ici que d'examiner quel degré de confiance on doit accorder à ce genre de nivellement, je ferai h=f, ce qui revient à supposer tous les triangles équi latéraux. Je prendrai, de plus.
596 THÉORIE ANxVLYTIQUE DES PROBABILITÉS.
—^ pour unité de distance : en faisant ensuite £ — z'='k^'\ i"— i"'=Y'\ on aura deux équations de la forme
La première de ces équations s'étend depuis i= i jusqu'à i = n -+- 1, n étant le nombre des triangles. La seconde équation s'étend depuis 1 — 2. jusqu'à i=Ti-^u II faut maintenant conclure de ce système d'équations la valeur la plus avantageuse de ^f«+*' — ^r"', l'élévation r ") du point C au-dessus de la mer étant supposée connue. Pour cela, on multipliera la première des équations (A) par /('' et la seconde par ^'), /" et «•(') étant des constantes indéterminées. Dans le système de ces équations ajoutées toutes ensemble, le coefficient de cc^^ sera fii)- f^i^^)^ gi) g[i+^)^ En l'égalant à zéro et observant que ^(/^2)^(,)^/^^/+,)^A^('\ A étant la caractéristique des différences finies, on aura, en intégrant,
a étant une constante. Mais, les valeurs de ^'^ ne commençant à avoir lieu que lorsque i=2, cette expression de /^'' ne peut servir que lorsque i= i. Pour avoir la valeur de f^\ on observera que l'égalité à zéro du coefficient de x^^^ donne
substituant, au lieu de f^^\ a — g'^^ — g^^\ on aura
Ensuite, l'expression précédente de /" ne s'étend que jusqu'à i = n; mais, relativement a i=n-h i, on doit observer que le coefficient de 1?'"+') doit être l'unité, ce qui donne
fln+t) j cr(«H-l) nrz i
ou
SUPPLEMENTS. 597
l'égalité à zéro du coefficient de a?-"^ donne yC') =/(«-*-')— ^«), ou j'w j g[n) __ ^n+\)^ Y,n comparant cette expression à celle-ci /■("'= a — g^"^ — g'"'*''\ on aura a = \ . L'erreur de la valeur de œ'"^*' sera ainsi
Les valeurs de y''^ y'^', . . ., X'*', X^^', . . . étant évidemment assujetties à la même loi de probabilité, si l'on nomme s cette erreur et si l'on fait
la probabilité de l'erreur^ sera proportionnelle, parle n" 20 du Livre II, à une exponentielle de la forme
K étant une constante dépendante de la loi de probabilité de y*'^ et V'K
Il faut maintenant déterminer les constantes de H, de manière que H soit un minimum. Or on a
H = (l — p-'^'ja^- (l — o-(2) p-(3)j2 i^..|. ^I er(rt) g(n + \)^i^ (i p-(/H-l)j2 -4- p-(2)2^ o-(3)2 j . . .-f- o-(«+l)2 .
en égalant à zéro le coefficient de la différentielle de ^", on a
Cette équation a lieu depuis « = 3 jusqu'à t = n. L'égalité à zéro du coefficient de dg'-^^ donne
tf
et l'égalité à zéro du coefficient de dg'"'^*^ donne
ce qui revient à considérer l'équation générale (i) comme ayant lieu
depuis i — 2 jusqu'à i = n ■+- 1 , et k supposer nuls ^'" et g^"+^K L'intégration de l'équation (i) aux différences finies donne
/ et /' étant les deux racines — | — ^5 , — f + J V^ tle l'équation
A et A' sont deux arbitraires telles que g''^ devienne nul lorsque î= i et lorsque i ^= n -\- 1. On a donc
/""^^ est une quantité extrêmement grande lorsque n est un grand nombre et, /'""^' étant — ~» on voit que A est alors une quantité excessivement petite et qu'ainsi A'= — |. On a ensuite
De là il est facile de conclure que l'on a, à très peu près et sans craindre ^g d'erreur,
et qu'ainsi l'exponentielle proportionnelle à la probabilité de l'erreur .v est
on peut donc ainsi déterminer cette probabilité.
On a conclu la valeur de ^'"+*) du système des équations (A) par le procédé suivant.
Le système des équations (A) donne
d'où l'on tire
On a ensuite les deux équations
ce qui donne
On a les deux équations ce qui donne
En continuant ainsi, on aura x'^^+'l Les quantités f "^ et X'"'' ne commencent à être introduites dans cette expression que par les deux valeurs de x'"'^ — x^"'~^^ et de x'-"'^ — x^"'-^K Désignons par ^""^ le coefficient de y""^ dans l'expression de x""^'^; cette expression est
en substituant pour x'^^'^'K x^'^^'-'K x'^'"^'-''^ les parties de leurs valeurs relatives à Y'"\ la comparaison des coefficients de cette quantité donnera
d'où l'on tire, en intégrant,
A et A' étant deux arbitraires. Pour les déterminer, nous observerons que, r étant nul, on a k'^=^, et que, /• étant r, on a
(le là on tire
ainsi, dans la valeur àex^"-^'\ ohr= n -\- 1 -m, on aura, pour le coefficient k^"^^-"^)deY"'\
le coefficient de X^'"' dans la même valeur sera évidemment le même. Ainsi l'expression de a;^"^" sera une quantité connue, plus la suite
Désignons par s cette erreur et par H la somme des carrés des coefficients de Y*K Y^\ '", y^^^K >^'^', . . .; la probabilité de s sera proportion-
nelle à c " . On a, à très peu près,
ainsi la probabilité de s est à très peu près proportionnelle à c""^^'; les erreurs également probables sont donc plus grandes dans ce procédé que suivant la méthode la plus avantageuse, et à peu près dans le rapport de y/S à y/f; ce procédé approche donc beaucoup de l'exactitude de la méthode la plus avantageuse, et, comme le calcul en est fort simple, nous allons déterminer la probabilité des erreurs auxquelles il expose, dans le cas général où les divers triangles ne sont ni égaux ni équilatéraux.
Si l'on représente par m"' le carré de O'-^^G-'^ divisé par 2R, et par n") le carré de O'-^^C^'^ divisé pareillement par 2R, le système des équations (A) se changera dans le suivant :
Le procédé que nous venons d'examiner donne, en suivant l'analyse précédente, le coefficient de y''^ dans l'expression de x^"^^'' égal à
Pareillement, le coefficient de l^'K dans la même expression, est de là il suit que la valeur de H est, à très peu près,
SUPPLEMENTS. 601
le signe intégral S s'étendant à toutes les valeurs de i jusqu'à
i=:n-hi; la prohabilité d'une erreurs, dans l'expression de x''"''*\ est donc proportionnelle à
- 9Ks*
,S ( mi')' 4- ni')' )
Si l'on applique aux équations (A') l'analyse que nous avons donnée ci-dessus pour le cas de la méthode la plus avantageuse, on trouvera, en les multipliant respectivement par /''* et g^'\ l'équation suivante
et cette équation aura lieu depuis i= i jusqu'à i=z/i-hi, en supposant ^^'^ et ^"+2) nuls. On aura ensuite l'équation générale
Cette équation a lieu depuis i = 2 jusqu'à i = n-h i. En la combinant avec les équations ^('^=0, ^("+-' = 0, on aura les valeurs de J ^*\ f^\ . . ., /«+'^; g^*\ g^^K ..., g^"-^^^; on aura ensuite
II = S(/(02„i(02,g(02„a)2),
le signe S comprenant toutes les valeurs de /"^m^"'' et de g^'hi^'^^; la probabilité d'une erreur s dans la valeur de x'""^*^ sera proportionnelle à
5. Il faut maintenant déterminer la valeur de K. Pour cela, nous
observerons que le facteur u est déterminé, par ce qui précède, au
moyen de l'équation
£ -t- e' , et que l'erreur de cette expression est Chaque double station
fournit une valeur de u, et la moyenne de ces valeurs est la valeur qu'il
OF.uvres de L. — \\\. 76
faut adopter. Si Ton nomme i le nombre de ces valeurs, l'erreur à craindre sera S— ^-^» le signe S se rapportant aux i quantités — A
relatives à chaque double station. Soit s la somme S ^^ ; la probabilité de s sera, par le n° 20 du Livre II, proportionnelle à une exponentielle de la forme
ie.5>
et, si l'on nomme q la somme des carrés des différences de chaque valeur partielle à sa valeur moyenne, on aura
On a, par ce qui précède, la probabilité de l'erreur d'une valeur s' de la fonction S proportionnelle à l'exponentielle
ie signe S s'étendant à i quantités de la forme '~ — Or, les erreurs i
et — c étant supposées également probables, il est visible que les
mêmes valeurs de S et de S sont également probables; on
a donc
bq
Les quarante-cinq premières valeurs de u, données dans le second Volume de la Base du Système métrique (p. 771), et qui sont fondées sur des observations faites dans les mois de l'année où l'on observe le plus souvent, donnent, pour sa valeur moyenne,
et la somme q des carrés des différences de ces valeurs à la moyenne est 0,04900629; «étant ici égal à 45» on a
Si l'on suppose le nombre n de triangles égal à 25 et si l'on fait tous les côtés égaux à 20000™, on aura 240000'" pour la distance de x'-'^*^' à .r'**) : c'est à peu près la distance de Paris à Dunkerque. Dans ce cas,
la quantité -^-i prise pour unité de distance, est Si"", 4 '6. De là on
conclut qu'il y a un contre un à parier que l'erreur sur la hauteur oc^-'^' est comprise dans les limites =1= 3™, 1 839. Il y a neuf contre un à parier qu'elle est comprise dans les limites ±: 7"',76i; on ne peut donc pas alors répondre avec une probabilité suffisante que cette erreur n'excédera pas ± 8'°.
La chaîne de triangles que nous venons de considérer est beaucoup plus favorable à la détermination de la hauteur de son dernier point que celle dont Delambre a fait usage, dans l'Ouvrage cité, pour déterminer la hauteur du Panthéon au-dessus du niveau de la mer. En considérant cette dernière chaîne, on voit que l'on ne peut pas répondre, avec une probabilité suffisante, que l'erreur sur cette hauteur n'excédera pas d= 16'".
6. On voit, par ce qui précède, que les grands triangles, qui sont très propres à la mesure des degrés terrestres, le sont fort peu pour déterminer les hauteurs respectives des diverses stations. Ainsi, dans le cas d'une chaîne de triangles équilatéraux dont /est la longueur de chaque côté, les erreurs également probables de la différence de niveau
des deux stations extrêmes étant proportionnelles à ^--^^ — , n étant
le nombre des triangles, si l'on nomme a la distance de ces deux stations, on aura, en supposant n-h 1 pair.
60i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
•-— ^ sera donc proportionnelle à ^- — i^; les erreurs également
[n-hif
probables seront donc proportionnelles à cette fraction. Ainsi, en quadruplant le nombre des triangles, elles deviendront huit fois plus petites; mais alors les erreurs dues aux observations des angles deviennent comparables aux erreurs dues à la variabilité des réfractions terrestres. Examinons comment on peut avoir égard à la fois à ces deux genres d'erreurs.
Considérons une suite de points C, O^K G^^\ .... Soient A^"^ la distance de C à O"; h^*^ la distance de C'" à 0=^'; h^'^ la distance de O-^ à G'\ et ainsi de suite. Concevons que du point C^'' on observe 0'"^'\ et réciproquement. La distance zénithale de C '^'\ observée de 0'\ sera, par ce qui précède,
£ étant l'erreur de m et a étant celle de l'angle observé 0. La distance zénithale de C''\ observée de C''^*\ sera
c' et a' étant les erreurs de u et de ô' dans l'observation faite au point 0'+'^ On aura donc les deux équations
Désignons comme ci-dessus £ — £' par y<'\ et faisons a — a' égal à À^'^; on aura, pour l'élévation a?^"^" — o:'"^ du point C"-^*> au-dessus de C, une expression de cette forme
^(«+n ^,(0) :^ M 4- S ^ y(') + Si/i(')X^'), 2R ' ■* '
le signe intégral S se rapportant à toutes les valeurs de «, depuis ^ = o jusqu'à « = n. L'erreur de cette valeur de ^*"^" est
Il faut maintenant déterminer la probabilité de cette erreur que nous désignerons par s. Soit généralement
^=S/«"')y(')-+-S7if'')A(');
la probabilité de s sera, par l'analyse du n'^ 20 du Livre II de la Théorie analytique des Prohabilités, proportionnelle à
J dmdx dyo[x) ^p ( j ) c-'^^v'' "T
X [ces (m'o^o^ + n'o'jjcj cos(m"':r -f- /^/"jJct cos(m(2)^ ^ n'-^^y)xn . . .] ;
cp(a7) est la loi de probabilité d'une valeur x de y'**^; '-["(j) est la loi de probabilité d'une valeur j de >^**^ Les erreurs négatives et positives sont supposées également probables : les intégrales relatives k x et y sont prises depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, et l'intégrale relative à rar est prise depuis tir = — ~ jusqu'à cr = z. En faisant
9.fdx(^{x) = k, fx^dxo[x)=z/i", '^fdy 'k (j) = ^> //- dy ^ [y] = k",
les intégrales étant prises depuis x et y nuls jusqu'à x et y égaux à l'infini, l'analyse du numéro cité donnera la probabilité de s proportionnelle à
Il est facile de conclure généralement de la même analyse que, si l'on
fait
Y''\ X'", 5<'\ ... étant des erreurs dérivant de sources différentes, la
prohabilité de s est proportionnelle à l'exponentielle
en désignant parTr(££?) la probabilité d'une erreurs due à la troisième source d'erreur, et faisant
2fdxTï{x] = /f, J'x'^dxT:[x) = k",
les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini; et ainsi des autres erreurs.
Pour déterminer, dans la question présente, les constantes ^- et
-p-^ je supposerai d'abord la seconde nulle ou très petite, relativement k
à la première, comme on peut le faire dans les grandes triangulations
de la méridienne. Dans ce cas, la probabilité d'une erreur s sera, en
faisant m"== i, proportionnelle à
n étant le nombre des intervalles qui séparent les stations. La probabilité d'une valeur s' de S^^^ ou de S^"^-, ce qui répond à une erreur is' dans la valeur de S(£ — z'), sera proportionnelle à
mais, par ce qui précède, cette probabilité est proportionnelle à
ni f2
on a donc
2ûr k" \k" Sa I
