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i k k ' i ii4'78

k" Si l'on suppose maintenant j- nul et /i^'^— i, la probabilité d'une

valeur s' de la somme S sera proportionnelle à

---- ri

et la probabilité d'une même valeur s' de S(a -f- a'-f- a") sera proportionnelle à

Si l'on suppose cette loi de probabilité la même que pour les erreurs de la so-mme des trois angles d'un triangle sphérique, dans les mesures gêodésiques, et qui, par le n*^ 1 du deuxième Supplément, peut être supposée proportionnelle à

0^ étant la somme des carrés des excès observés dans la somme des erreurs des trois angles dans i triangles, on aura

On a, par ce que l'on a vu.

partant,

quantité qu'il faut diviser par le carré du nombre de secondes sexagésimales que ce rayon renferme, et alors on a

4P' i,?.8oi k "" lo'o

Supposons les distances des stations consécutives égales à raoo"'; on

trouvera qu'il y a un contre un à parier que l'erreur sur la valeur de .jj(«+<) n'egt p^s au-dessus de ± o'°,o8555 lorsque n = 200. Il y a mille contre un à parier que l'erreur n'est pas au-dessus de ± o'",4i3.

Méthode générale du Calcul des prohahilités , lorsqu'il y a plusieurs

sources d'erreurs.

La considération des deux sources d'erreur indépendantes qui existent dans les opérations du nivellement m'a conduit à examiner le cas général des observations assujetties à plusieurs sources d'erreurs. Telles sont les observations astronomiques. La plupart sont faites au moyen de deux instruments, la lunette méridienne et le cercle, dont les erreurs ne doivent pas être supposées avoir la même loi de probabilité. Dans les équations de condition que l'on déduit de ces observations, pour obtenir les éléments des mouvements célestes, ces erreurs sont multipliées par des coefficients différents pour cbaque source d'erreur et pour chaque équation. Les systèmes les plus avantageux de facteurs par lesquels il faut multiplier ces équations, pour avoir les équations finales qui déterminent les éléments, ne sont plus, comme dans le cas d'une source unique d'erreurs, les coefficients de chaque élément dans les équations de condition. La facilité avec laquelle l'analyse que j'ai donnée dans le Livre II de ma Théorie des Probabilités s'applique à ce cas général va montrer les avantages de cette analyse.

Supposons d'abord que l'on ait un système d'équations de condition représentées par celle-ci

y étant un élément dont on cherche la valeur la plus avantageuse. Si l'on multiplie l'équation précédente par un facteur f^'\ la réunion de tous ces produits donnera pour y l'expression

L'erreur dey sera

En désignant par s cette erreur, sa probabilité sera proportionnelle, par le numéro précédent, à l'exponentielle

-— s m(0« /■«' + *-^ S n(OJ /■(•■)> +. . . C *

Il faut déterminer /('' de manière que

soit un minimum, car il est visible qu'alors la même erreur s devient moins probable que dans tout autre système de facteurs. Si l'on nomme A le numérateur de cette fraction, et si l'on fait varier /<" d'une quantité dq, on aura, par la condition du minimum, en égalant à zéro la différentielle de cette fraction,

pii)

ce qui donne pour/''^ une expression de cette forme

On peut faire ici [x = i, parce que, cette quantité étant indépendante de i, elle affecte également tous les multiplicateurs /('^; ainsi la quantité /w, par laquelle on doit multiplier chaque équation de condition

OEuvres de L. — VII. 77

pour avoir le résultat le plus avantageux, est

et la probabilité d'une erreur s de ce résultat est proportionnelle à l'exponentielle

On aura, par la même analyse et par le n" 22 du Livre II, les facteurs par lesquels on doit multiplier les équations de condition pour avoir les résultats les plus avantageux, quels que soient le nombre des éléments à déterminer et le nombre des genres d'erreurs; on aura pareillement les lois de probabilité des erreurs de ces résultats.

Supposons que l'on ait, entre deux éléments x et y, l'équation de condition

Y<'\ V-^\ o'\ ... étant des erreurs dont les sources sont différentes. En multipliant d'abord cette équation par un système /^'^ de facteurs, la réunion de ces produits donnera l'équation finale

jc s lii)f(i)^y^pii)fii) = S a(''/(') -h S m^i\f^'^y^'^ + S n^^\f^^>V'^ -+-....

En multipliant ensuite l'équation de condition par un autre système g'-'^ de facteurs, la réunion des produits donnera une seconde équation

finale

X s /(')^('') -h y Sp(')^('' = S a(')g-(') -t- S m('')g^'''y('' +

On tire de ces deux équations finales

Saf')/'') S/>'')g-''^— Sa(')g'') S /?<')/"')

L étant égal à

Le coefficient de Y'^ dans cette valeur est

En changeant /n^'* en /i<", r('\ ..., on aura les coefficients correspondants de V'\ ^''^ En nommant donc s la valeur de la partie de x-

dépendante des erreurs f'K X'", â^", ..., la probabilité de cette valeur sera, par ce qui précède, proportionnelle à l'exponentielle

en faisant

M''' étant égal à

If If k

Il faut maintenant déterminer/" et^''' de manière que H soit un minimum. Pour cela, on fera varier /'\ et l'on égalera à zéro le coefficient de sa différentielle; ce qui donnera, en nommant P le numérateur de l'expression de H,

— Y ('''^ S/?(''g('') — p(') S /"■' g-"''). Il est facile de voir que l'on satisfait à cette équation en supposant

et l'on doit en conclure que l'on satisferait, par la même supposition,

à l'équation correspondante que donnerait dR = o, en y faisant varier g^'K On voit encore que les mêmes valeurs de /"^ et de ^'^ satisfont aux équations semblables qui résultent de la considération de l'élément j.

Si l'on a, entre les éléments x,y, z, . . ., des équations de condition représentées par l'équation générale

Y'K y^^'K ^^'\ ... étant des erreurs de divers genres, on trouvera par l'analyse précédente que les facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement cette équation, pour former les équations finales qui donnent les valeurs des éléments les plus avantageuses, sont, pour la première équation finale, représentés par

Ils sont représentés, pour la seconde équation finale, par

f' ff k

et ainsi de suite. En appliquant donc aux équations ainsi multipliées l'analyse du n° 2 du premier Supplément, on aura les valeurs des éléments les plus avantageuses et les lois de probabilités de leurs erreurs.

Pour donner un exemple de cette application, ne considérons que deux éléments a; et y. Si l'on fait

^ k Te

On multipliera l'équation de condition précédente par ^^) et l'on en

tirera

mais la condition de la méthode la plus avantageuse donne

o=:Sj^(m(')y(')+n(')X(')4-...),

o = S ^-^ (m(')y(')+ /i(')X(0 + . . .]; on aura donc

Substituant cette valeur de j dans l'équation générale de condition, et faisant

liDpii)

dp=

0 pi, M<'-) M(')

et la probabilité d'une erreur ^ de cette valeur sera proportionnelle à

Cette analyse suppose la connaissance des constantes -r- et — • Mais on

k if

peut en obtenir, par les observations mênies, des valeurs très approchées, de la manière suivante.

Concevons que l'on ait déterminé les éléments ce, y, z, ... par la méthode suivant laquelle on forme les équations finales, en multipliant chaque équation de condition successivement par le coefficient correspondant de chaque élément. Si l'on substitue les valeurs des éléments ainsi déterminées dans l'équation de condition

on aura une équation de cette forme

Supposons, pour plus de simplicité, que Ton n'ait que les deux genres d'erreurs y*'^ eiV-'^ : on multipliera d'abord l'équation précédente par m"'. En élevant ensuite chaque membre au carré et prenant la somme de toutes les équations ainsi formées, on aura

Sm(')2R(')2z=S(m(')*y(')2 4- •2m<')3n(')j/(')X(') , ;i(l)2;„(:)2X(02).

La valeur moyenne de m^'^'^Y''^ ^^t évidemment

les intégrales étant prises depuis y = — oo jusqu'à y infini, ce qui

donne — -v On a pareillement -rr-m'''^/i''^ pour la valeur moyenne

de m'''^n^''^yS'^^. On trouve de la même manière que la valeur moyenne de 2m('^^7i'''y^X('^ est nulle; on a donc, en substituant au lieu des quantités leurs valeurs moyennes, ce que l'on peut faire avec d'autant plus de précision que le nombre des observations est plus grand,

Smf')2R(')2^ ?^ Sm(')*+ ^~- Sm(')2«(''2.

On aura pareillement

de là on tire

4^" 2Sn<'')^ Sm(')2R(')2 2Sm(''2/,.(')2 Sn(''2R(')2 'F ~ Sm(')* SwC'J" — (Sm(')2re(t)2)2 ~ '

4P' ?.Sm(')* Sn(^'2R(02 2Sm(')2rt(/)2 Sm")2R(')2 'j^' ~ Sm'^J* Srt(')» — (S/n(''2«(''2)2 '

en désignant donc par 2P et 2Q les numérateurs de ces deux expressions, les facteurs par lesquels on doit multiplier l'équation de condition seront

11 s'agit maintenant de faire voir que ces valeurs de --^-5 y- sont tort approchées. Pour cela, ne considérons qu'un élément .r : l'équation de condition

donnera

S «('■' /"■' S /"■> m(')y(" -4-S/t^)n<'n^') ^ "^ ~ ^ "S 7(^2- "^ sF)5

Substituant cette valeur dans l'équation de condition, on aura

mais il est facile de voir que les valeurs de S^'^m' f > et de S /"'/i"A("

sont nulles par la supposition des erreurs négatives aussi probables que les erreurs positives : on peut donc faire, comme ci-dessus,

ce qu'il fallait établir.