QUATRIÈME SUPPLÉMENT

1. U étant une fonction quelconque d'une variable t, si on la développe suivant les puissances de t, le coefficient de t^, dans ce développement, sera une fonction de œ que je désignerai pary^; U est ce que j'ai nomn\^ fonction génératrice de r^. Si l'on multiplie U par une fonction T de t, pareillement développée suivant les puissances ascendantes de /, le produit UT sera une nouvelle fonction génératrice d'une fonction de X, dérivée de la fonction j^ suivant une loi qui dépendra de la

fonction T. Si T est égal à - — i, il est facile de voir que la dérivée

sera jar+i —yx^ t>ii la différence finie de y^.. Désignons généralement, quel que soit T, cette dérivée par Sj.^. Si l'on multiplie le produit UT par T, la dérivée du produit UT^ sera une dérivée de ^y^. semblable à la dérivée de oy^ en j^; on pourra donc désigner par ^^yx cette seconde dérivée; d'oij il est visible généralement que UT" sera la fonction génératrice de ^"yj:-

Si l'on multiplie U par une autre fonction Z de t^ pareillement développée suivant les puissances ascendantes de t, et si l'on désigne par la caractéristique A ce que nous avons nommé S relativement à la fonction T, UZ" sera la fonction génératrice de A"j^.

On peut concevoir T comme une fonction de Z. En développant cette fonction en série par rapport aux puissances ascendantes de Z, on aura une expression de T de cette forme

En multipliant cette équation par U et repassant des fonctions géné-

OF.uvresde Z,. — VU. 78

ratrices aux coefficients, on aura

ôj,, -= A(o) j.i- + A( ' ) Ajx + A(2) A2 j^ + . . . .

On voit ainsi que la même équation, qui a lieu entre T et Z, a lieu entre leurs caractéristiques S et A, pourvu que, dans le développement de cette équation suivant les puissances de § et de A, on substitue, au lieu d'une puissance quelconque S'', S''j^; au lieu d'une puissance A'"', A''%; au lieu d'un produit tel que o''A'^, §''A'"'j^; et que l'on multiplie par ja; les termes indépendants de S et A. Ainsi, en supposant T

égal à - — I, Z = ■^. — I, §7^ sera la différence finie de j^, x variant

de l'unité; Aj^. sera la différence finie de j^, x variant de i\ on a ensuite

et, par conséquent,

Z = {i+T)'-i, Z^^Cli + T)'-!]"; A'^ = [{i + a)'-i]'%

pourvu qu'après le développement on place jKx après les puissances des caractéristiques. Cette équation aura encore lieu en faisant n négatif, mais alors les différences se changent en intégrales. La considération des fonctions génératrices fait voir ainsi, de la manière la plus naturelle et la plus simple, l'analogie des puissances et des différences. On peut considérer cette théorie comme le calcul des caractéristiques. Si l'on a o = ^j^;» on aura une équation aux différences finies : UT devient alors un polynôme qui ne renferme que des puissances de / plus petites que la plus haute de t dans T. Désignons par Q le polynôme en t le plus général de cette nature; on aura

Le coefficient de f dans le développement de U sera l'intégrale j^ de l'équation o = ly^\ par cette raison, je nomme U fonction génératrice de cette équation.

Si l'on conçoit U fonction de deux variables t et t\ le coefficient du produit t^l'^', dans le développement de U, sera une fonction de x et de ^'que je désigne par j^,^-; T étant une fonction développée des mêmes variables t et t' , le produit UT sera la fonction génératrice d'une dérivée de j^,^', que je désignerai par Sj^,^; et il est facile d'en conclure que UT" sera la fonction génératrice de l'y^y-

Si l'on a o = §7^,^, on aura une équation aux différences finies partielles. Représentons cette équation par la suivante

o=.a j.r..c' -h b yx.x'+\ •+■ cyx,.v'+2 -\- • • -,

H- a' Xx+\,x' H- b' fx+\,x + \ -4- . . • ,

il est facile de voir que la fonction génératrice de l'équation proposée sera

A + B /' -i-Cr'' + ...H-Hr"^-' + A'+B^f + C <='+■.■ H- H'/"-' ^

n et n' étant les plus grands accroissements de x et de x' , dans l'équation proposée aux différences partielles; A, B, C, . .., H sont des fonctions arbitraires de t; A', B', C, ..., H' sont des fonctions arbitraires de t'. On déterminera toutes ces fonctions au moyen des fonctions génératrices de

yo , xy y\ . X-, J2 , x; ■ ••, y II- 1 , X-,

yx. 0 , r.r , 1 , yx. 2 . • • • , j-i-, «'- 1 •

Un des principaux avantages de cette manière d'intégrer les équations aux différences partielles consiste en ce que, l'analyse algébrique fournissant divers moyens pour développer les fonctions, on peut cboisir celui qui convient le mieux à la question proposée. La solution

des problèmes suivants, par le comte de Laplace, mon fils, et les considérations qu'il y a jointes répandront un nouveau jour sur le calcul des fonctions génératrices.

2. Un joueur A tire d'une urne, renfermant des boules blanches et noires, une boule qu'il remet après le coup, avec la probabilité p d'amener une boule blanche et la probabilité <7 d'en extraire une noire; un second joueur B tire ensuite, d'une autre urne, une boule qu'il remet également après le tirage, avec les probabilités p d'une boule blanche et^' d'une noire. Ces deux joueurs continuent ainsi à extraire alternativement, chacun de leur urne respective, une boule qu'ils ont toujours soin de remettre. Si l'un des joueurs amène une boule blanche, il compte un point; si, au contraire, il fait sortir une boule noire, il ne compte rien, et le tour de jouer passe simplement à l'autre. Les joueurs ayant réglé, par les conditions de leur jeu, le nombre de points que chacun doit atteindre le premier pour gagner la partie, et ayant commencé à jouer, il manque encore au joueur A le nombre x de points pour gagner, et x' au joueur B; et le tour de jouer appartient au joueur A. On demande, dans cette position, quelle est la probabilité de l'un et l'autre joueur pour gagner la partie.

Soit z^y la probabilité de second joueur B, et représentons par ^x,x' sa probabilité, s'il était le premier à jouer. Le joueur A, en commençant, peut amener une boule blanche, et la probabilité de B devient Y^,,a;-; ou le premier joueur fait sortir une noire, et alors ne compte rien, et la probabilité du second se change en Y^,^- mais la probabilité du premier cas est/?, celle du second q-, on aura donc l'équation

Zx .x-= p\x~{^x+ q Y.r , X' ;

par un raisonnement semblable, on aura encore celle-ci d'où l'on tire

i-x- t,.r'^= p -S.c- ) , ,r - 1 + </ -S.r- I , Xf

SUPPLExMENTS. 621

et conséquemment

Zx,x'= p{p'Zx-\,x'-i + q'zx-i,.v) + q{p'z.v,x'-^i + q'Zx.v) (' ) OU

Zx x' = ; Zx— i ,x' -+- , Zx, .Vf— i -+■ > Zx-i ^ x* - 1 ,

i-qq' ^-qq '-qq

et en faisant

pq' P'<J I . PP'

— ^ — , = m, — ^-^—, = rn' et -~- — 7 = n,

i-qq' i-qq i - qq

il viendra

2a:,.c'= ?nZx-\,x' -+- m' Zx^xf-i + nZx-i,x'-i-

La fonction génératrice de z^^^.-, dans cette équation aux différences

partielles, est

I — mt — ni' t' — ntt'

A étant une fonction arbitraire de /, et A' une autre fonction arbitraire de t'; j'observe d'abord qu'en attribuant à la fonction A' le terme indépendant de t dans la fonction A, la fonction génératrice ci-dessus peut

se mettre sous cette forme

Al ^-4- A',

1 — mt — m' l' — ntt'

A et A', étant de nouvelles fonctions arbitraires de / et de /' qu'il s'agit

( 1 ) On arrive encore à cette équation aux différences partielles en considérant l'ensemble dos deux tirages successifs de A et B comme un coup, et en examinant les différents cas qui peuvent se présenter après ce coup joué ; or ils sont au nombre de quatre : 1° ou les deux joueurs amènent chacun une boule blanche, événement dont la probabilité est pp' ; alors la probabilité Zx,x' se changera en celle-ci Zar-i.x'-i ; 2° ou le premier joueur extrait une boule blanche et le second une noire; dans cette hypothèse, qui a pour probabilité pq', ^x,x' deviendra Zx-\,x''i 3° ou au contraire le premier joueur fait sortir une boule noire et le second une blanche; dans cette hypothèse, qui a pour probabilité p'q, Zx,x' deviendra Zx^x'-i \ 4° ou enfin l'un et l'autre joueur tirent une boule noire, événement dont la probabilité est qq\ et alors la probabilité Zx,x' reste la môme. On aura donc, par les principes connus des probabilités, l'équation

Zx,x' = pp'zx-i,x~\ -H pq'zx-i,x' -+- p'qzx,x-i ■+■ qq'zx,x'-

On obtient la fonction génératrice de Zx,x', dans celte équation aux différences partielles, en appliquant à ce cas la règle générale qui vient d'être exposée.

de déterminer. Or, si l'on fait attention que ^o.a?' est nul, quel que soit ^', la probabilité du joueur A se changeant alors en certitude, on voit que le coefficient de t'^ dans le développement de la fonction génératrice par rapport aux puissances de t doifêtre nul, et l'on aura

' — '^ ou A, = o.

De plus, 5^,0 est nul quand oc est zéro, et égal à l'unité quand x est ou I ou 2, ou 3, . . ., puisqu'alors la probabilité du joueur B se change

en certitude; la fonction génératrice de z^^^ est donc "j-^; c'est le

coefficient de /'" dans le développement de la fonction génératrice suivant les puissances de t'\ on aura donc

Aj^/ t I — mt J — t

ce qui donne