AU
par conséquent la fonction génératrice de z^^^' est
, . t[i -rnt) .
^"-1 [i — t)[i — ml — m't'—nU'y
en la mettant sous cette forme
I — mt
et la développant par rapport aux puissances de /, on a
1 — ^L \i — mtj \i—mtj \\ — mt}
Le coefficient de t"^' dans cette série est
t /m'+juY' 1 — t \i — mt j
et celui de /^ dans le développement de cette dernière fonction sera l'expression de s^,^. Or, si 1 on réduit d abord 1 expression t \-^zr^a) en une série ordonnée selon les puissances de t, et qu'on la multiplie ensuite par le développement de -3-» il est facile de voir que le coefficient de /^ dans ce produit est ce que devient la série en y faisant ^ := I et s'arrêtant à la puissance ^ de ^ ; et l'on trouvera, pour la valeur de ce coefficient ou de z^^^.',
'"^T^"^' TT" /«'2 "^ 1.2.3 in!''^'" i.2...(.r — i; m'-^-'
xY-r'-i- I ) . . . ( x'-v- X — 2 )
En désignant par j^^^- la probabilité du joueur A, on serait conduit, par les mêmes raisonnements, à une équation semblable aux différences partielles,
qui donne pareillement pour la variable y^y une fonction génératrice
de la forme
i — mt — m' l' — ntt'
A, et A', étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires de / et de t' que l'on déterminera par les mêmes considérations. En effet la fonction génératrice de y^y est —-y,' celle de j^,o est l'unité : on formera donc les équations
d'où l'on tire
et
I — mt
d'où l'on conclut
Af / = — mt.
La fonction génératrice de r^ ,^- sera donc
I — m' t' -~, int
i — mt — m' t' — ntt'
laquelle, développée selon les puissances de t et de t', donnera, par le coefficient de t'^t"^', l'expression de r,^,^' qui sera d'une forme semblable à celle de z^^^', quoique un peu plus compliquée.
En ajoutant les deux fonctions génératrices {a) et (b), leur somme se réduit à celle-ci
dans laquelle le coefficient de t^'t'-" est l'unité; ainsi l'on a
et effectivement, la partie doit être nécessairement gagnée par l'un des joueurs, car l'un et l'autre sont certains de pouvoir extraire chacun de leur urne les nombres déterminés de boules blanches. Maintenant, supposons /? = o et conséquemment ^ = i, on a
m = o, m'=zi et n = o;
alors l'expression de ^^,^' devient l'unité; ce qui est évident, puisque le joueur B, n'ayant plus de chances de perte, doit toujours finir par gagner.
Si, au contraire, on suppose p = j et q = o, c'est-à-dire si le premier joueur A compte un point avant chaque tirage du joueur B, alors
g', m'=o et n=p';
x' étant plus grand que x ou égal, l'expression z^^^' se réduit à zéro;
SUPPLEMENTS. 635
et, en effet, il est évidemment impossible que, dans ce cas, le joueur B puisse gagner la partie; mais, quand x est plus grand que x' , la valeur de z^^x- prend cette forme
, ,r x' , x'[x'+\\ ,^ x'ix' -\-\\. . Ax — i\ , '\
Zx,j:'=p'-^ l-i g'-\ ^ ^«'2+...H ^ -L ^ -i flX-j:'-) I
Dans cette supposition, le joueur B ne peut gagner qu'autant qu'il amènera x' boules blanches avant x — x' boules noires; autrement, il est devancé par le joueur A qui compte un point à chaque coup : cette expression de z^^^' est donc la probabilité que le joueur B aura tiré x' boules blanches avant d'en avoir extrait x — x' noires, et, par conséquent, la probabilité pour gagner, s'il faisait le pari avec le joueur A, qui compterait alors un point par la sortie de chaque boule noire tandis qu'il en compte un à la sortie d'une blanche, d'atteindre x' points avant que son adversaire en ait x — x'; ce qui est le problème des partis (*).
(1) La fonction génératrice de Zx,x' se réduit dans ce cas à
fU — q't)
(f — i)ii-q'i~p'tt')'
et l'équation aux différences partielles correspondante serait
dans laquelle Zx,x' est une fonction de .r et de .r' que nous désignerons par i»(.r, x'); si l'on fait X — ,t'= s, on aura
et, si l'on représente par Zs,x' cette dernière fonction, il en résulte
Zx,x' ^^ Zs^x'i Zx—l,x' = Zs-l^x'l Zx-\,x'—\=^Zg^x'—\'i
et l'équation aux différences partielles se change en celle-ci
Zs,x' = q Zs~\^x' ~'r p ^s,x'—l}
équation à laquelle conduirait directement le problème des partis dans les conditions énoncées ci-dessus. En faisant attention que, par suite do cette transformation, z^^o — i et 3o,x' = o, et que 2o,o no peut avoir lieu, il est aisé do voir quo la fonction génératrice de Zs,x' sera
dans le développement de laquelle le coefficient de tn'^' sera l'expression de Zs,x--
OEuvres de L. — VU. 79
Si l'on examine avec attention la forme de l'expression générale qui donne Zj;^^.-, on reconnaîtra que ce problème peut encore être résolu, et même avec simplicité, au moyen de la théorie des combinaisons : eu effet, soient a le nombre des boules blanches contenues dans l'urne du joueur A, et b celui des noires; a' le nombre des boules blanches du joueur B, et ^' celui des noires; en considérant, comme on l'a déjà fait, l'ensemble de deux tirages successifs de A et B comme un coup,
aa' sera le nombre des combinaisons dans lesquelles les joueurs amènent chacun une boule blanche;
ah' celui des combinaisons qui donneront une boule blanche à A et une noire à B ;
a'b celui des combinaisons qui donneront, au contraire, une boule noire à A et une blanche à B ;
bb' celui des combinaisons dans lesquelles l'un et l'autre joueur tirent une boule noire ;
Et la somme aa'-^ ab'+ a'b -h bb' formera l'ensemble de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un coup. Les combinaisons où les joueurs amènent chacun une boule noire n'apportant aucun changement à leur position, nous pouvons en faire abstraction, et alors ne nous occuper que des coups où il sera amené au moins une boule blanche. Il est visible qu'en x-^x' coups semblables l'un des joueurs a nécessairement gagné, et la partie doit être décidée : or le nombre de toutes les combinaisons également possibles, suivant lesquelles ces ^-1-^' coups peuvent se présenter, sera-
[aa' -\- ab' -+- a' b)-^+-^' ;
la question se réduit donc à choisir dans toutes ces combinaisons celles qui font gagner le joueur B, c'est-à-dire celles dans lesquelles ce joueur aura x' boules blanches avant que le joueur A en ait amené x. Pour fixer les idées, supposons x' plus grand que x; on peut former les hypothèses suivantes : ou le joueur B aura gagné au a?'*"™^ coup, c'est-à-dire en tirant sans interruption une boule blanche à chaque coup, et alors le nombre des combinaisons précédentes qui se rappor-
tent à ce cas est évidemment
et en le divisant par {aa'-h ab'-h u'hy^"", nombre total des combinaisons, on aura, pour la probabilité de cette hypothèse,
a'^'b''' r x' a x'[x'—\)ar x'[x'—i). . .[x' — x + 2) «-^-'"1
rcJ^T^ab'-^ a'bY'l''^ 'V b'^ r.'i F^'^'-'"^^ i.2...(^-i) b-^-'y
OU le joueur B aura gagné au {oc' -h i)'*^'"^ coup, c'est-à-dire en n'ayant tiré qu'une seule boule noire, par exemple en commençant, et alors le nombre des combinaisons favorables à cet événement est
mais ce nombre est le même, que la boule noire soit amenée au premier coup ou au deuxième, . . ., ou au x''^"^^ coup; il faut donc le multiplier par x' pour avoir toutes les combinaisons relatives à cette hypothèse, dont la probabilité est, par ce moyen,
x' I [aa'-\-aO
r^q:"a'Tp^' ['^ i ^ ^ i .2 ' 6^ ■' i.i...[x-i) b'-^y
ou le joueur B aura gagné au (x'+ 2)""""' coup, et l'on verrait de la même manière que la probabilité de cette hypothèse serait
x'[x'-Hi) a^b'^a'-^'b-^' f ^' « x'{x'-i)...{x'—x-^/^)a-'^'^
I aa' + ab
ia'-^'b-^' r x' a x'[x'—i)...[x'—x-^li] fl-»^n
En continuant ainsi, on aura les probabilités de toutes les hypothèses Hiccessives qui peuvent se présenter dans la supposition du gain de
la partie par le joueur B, jusqu'à celle où il ne gagnerait qu'au {.v'-h X — i)'^™« coup, événement dont la probabilité serait
et effectivement, dans ce cas, il ne peut y avoir de coups où les joueurs amènent en même temps une boule blanche.
La somme de toutes ces probabilités donnera évidemment celle du joueur B pour gagner la partie.
Si l'on fait attention que
ab' a'b
^y -zz,-. — TT-. — rr — m et
aa' -h ab' -{- a' b ' aa' -h ab' -h a' b ~ '^"' b~7iï'
on retrouve l'expression de z^^^'.
Concevons présentement qu'il y ait dans les urnes des boules blanches portant le n° i, et d'autres boules, de la même couleur, qui portent le n° 2; chaque boule diminuant de son numéro, par sa sortie, le nombre de points qui manquent encore au joueur auquel elle est favorable. Le problème n'est plus susceptible d'être résolu généralement au moyen des combinaisons, au lieu que le calcul des fonctions génératrices continuera à fournir une expression générale dont le développement contiendra la solution complète de la question et pourra, dans certains cas, s'effectuer par des lois faciles à saisir, comme nous aurons occasion de le voir.
Soient p la probabilité du joueur A d'extraire une boule numérotée I, /?, celle d'extraire une boule numérotée 2, et q celle d'amener une boule noire; /?', p\ et q' les probabilités correspondantes pour le joueur B; et soit toujours s^,^- la probabilité de ce dernier joueur pour gagner la partie. En suivant la même marche que plus haut, on sera conduit à l'équation aux diff'érences partielles
Zx,x'= 'nZj;-i,x' + /W, Zj:2,.r' -h m' Zx,x'-\ + m\ Zx,x-2
-+- nzx-\,x'-\ -h fii Zx-2,x'~i + n' Zx-i,x-2 -+- n\ Zx—2,x'—2i
dans laquelle on fait
— i-2 — r = w, -!—^-=nn, —•—'—yz=m', —•-^-i-y=m^
i-qq' x-qq' i ~ qq' ' --'
i-qq'
PP' „ P1P - „ pp\ n' ,^^ „ .
i — qq ^ — Çq ' ~ 77 ^ — Ç^
la fonction génératrice de la variable z^^^', donnée par cette équation, sera
^^' î — mt— m,t^— m't'— m\t'^ — ntt' — ritt^t' — n' tt'^~ n\tH'^^
A et B étant des fonctions arbitraires de t, A! et B' des fonctions arbitraires de t', lesquelles seront déterminées au moyen des fonctions génératrices de
^O.X'f Zx,Oi ■2i,.c'> Zx,i
qui le sont elles-mêmes par les conditions du jeu.
On trouve, comme précédemment, que la fonction génératrice de
Zo,x' est zéro et celle de ^^o» ■ }'
De l'équation générale, on déduit l'équation aux différences finies
Zt,x'= m' Zf^x'-i -h m\zt x'-2,
qui a lieu pour toutes les valeurs de x' depuis x'= i inclusivement, et qui donne conséquemment, pour la fonction génératrice de z^^^',
a + bt' ~i — m't'— m\ri^
a et b étant des constantes que l'on détermine au moyen des valeurs de 5< 0 et Zff', et comme s, <, est égal à l'unité, z,,, est égal à m'-i-m\, et est en même temps le coefficient de t' dans le développement de la fonction génératrice; il en résulte
rt = I el b = m\; la fonction génératrice de z,^j.' est donc
Maintenant, si dans l'équation précédente on met i — j^-.a;' '^ la place ^6 z-j.^^', j^-y' étant toujours la probabilité du premier joueur A, elle se reforme de la même manière par rapport à cette dernière variable, et l'on en déduirait pareillement l'équation aux différences finies
Mais on verrait en même temps qu'elle ne commence à avoir lieu que lorsque x surpasse 2; car, ce étant 2, on aurait
11 ne faut donc l'employer qu'à partir de œ = 3, et alors la fonction génératrice de j.^ , est de la forme
a + bt-hct^
I — rut — nii t'^
a, b etc étant des constantes que l'on déterminera, comme précédemment, au moyen des valeurs de j,,o» J{,i et j,,2; o'* J<,o est l'unité ; y^^^ est égal à i — m'— m\, et est le coefficient de t dans le développement de la fonction génératrice; j,,! » pour valeur, comme nous
venons de le voir,
ni[ï — m' — m\ ) -+- m 1 -\- ?i t -\- n\ ;
c'est le coefficient de t"^ dans le développement de la fonction. On en
conclura
a = 1 , 6 =. 1 — m — m' — m\ et c = n\ 4- n\ ,
et la fonction génératrice de y^^^ sera donc
I + ( I — m — m' — m\) l -h [nt -\- n\] t"^ ^ I — mt — m, t'^ '
conséquemment celle de z^^, est
I • + ( 1 — "* — f^i' — '^^'1 )t "h (fit -h n\ ) /2
I — t i — ml — mi i-
Reprenons actuellement la fonction génératrice (e); on peut toujours la ramener à cette forme
A , t +|M2 1' + A', + r; tt'
i-.nit— lUit^ — m'I'^ m\ t'^'— ntl'-~ «i t- 1' — n' tt'- — fi\ t- 1'- '
A, et B, étant les fonctions arbitraires de t, A\ et B', les fonctions arbitraires (le t'; lesquelles on détermine aisément, en égalant d'abord le coefficient de i" dans le développement de cette fonction à la fonction génératrice de :jo,j; ou zéro, ensuite celui de t"* à la fonction génératrice de ^ar,o ou ' puis celui de ^ à la fonction génératrice de z,j.t,
et enfin celui de t' à la fonction génératrice de ^^,,, ce qui donnera successivement
j — mt — niit^ , , „ m', 4- n' + n\ t \\ = o, A,= j-—^ > B, = m,, B,=: ^~- ,
et, par conséquent, pour la fonction génératrice de 5^,^-, II — mt — m,/2)/4- m\ tt' -\- n'i-t' -A- n\ fW
l"i (i t) (i— mt — niif^— m'l'—m\t'^— ntt'— riit'W— n' It'^ — n\t^t'^)
Si l'on suppose p et jo' nuls, alors on a
m = o, m'zzzo, /i =z o, «, = 0 et ii'=:o, et la fonction (<-/) prend cette forme
tt'[n^^-^n^t^)
-)[-(?^^)''=] (-')[--(Ti:^<^)'i
sous laquelle elle est susceptible des mêmes développements que la fonction (a). Il est à remarquer que l'on retrouvera le même coefficient pour
ce qui se voit a priori, en faisant attention que les joueurs comptent toujours deux points à chaque boule blanche qu'ils font sortir. Supposons que le joueur A ait seul des boules numérotées i et 2, et
que l'autre joueur n'ait que des boules blanches marquées i, ou qui ne lui comptent qu'un point en sortant; alors
et, par suite,
la fonction [d) devient
;(i — mt — ni\t^) t I
[i — t][i--mt — m,t'^ — m' t'— ntt'— rixt^t') i — t
en la développant suivant les puissances de t' , le coefficient de t'^'
sera
t[m'-^- [n^nst)tY' [\ — t] [i — [m-\-ma]tY'
expression qu'il s'agit maintenant de développer par rapport aux puissances de t pour avoir le coefficient de t^-, or ce coefficient sera la somme de tous les coefficients des puissances de t inférieures ou égales à t^~* , dans le développement de l'expression
[m'+ (n-4- /IjO^K [i — (m + m,/)^]^'
laquelle, en omettant les termes où les puissances de t en dehors des binômes sont supérieures à t^~\ peut être mise sous cette forme
.v'/n-+-nit\ x'ix' — i) /« -f- «i?\2 . x'ix' — i)...(.r' — x -4- 2) /« -i- «i/X^-i
x' , , r x' / n -\- )iit\ x'ix' — i)...(x' — j: + 3) /« -I- «if \
x'{x'-\-i). . .ix'-\- X — 2), 1 .2. . .(.r — i)
Si l'on rejette encore de cette série toutes les puissances de / supé-
Heures à /^"', qui résulteront des développements des binômes, et si, dans ce qui reste, on fait / = i, on aura l'expression de s^,^'.
Examinons encore le cas où le joueur A serait certain d'extraire à chaque coup une boule qui compterait à ce joueur un point, c'està-dire où l'on aurait
/7 = i, Pi = o, q^o,
et conséquemment
n = p' , rii =0, n' =p\, n\ = o.
La fonction génératrice de z^^^- ou la fonction [cl) se réduirait alors à
t[i — q't)-\-p\t'^t' (i — t) (i — q't—p'tt' — p\ tt'^)'
et celle de y^^^a;' serait, par suite,
,/)(,/') (,/)(! q>t — p'tt' — p\ tt'^)
I tt'
i — t' [\—t')[i—q't — p'tt'—p\tt'^-)
Dans cette dernière expression, le premier terme représente la fonction génératrice de /«.o;» qui est égal à l'unité quel que soit x\ et le second donnera, en le développant par rapport aux puissances de t et de t\ toutes les autres valeurs de j^.x'; or le coefficient de t"" sera
nq'+{p'-^p\nt'Y-\
d'où il résulte que, si l'on rejette du développement de la série
toutes les puissances de /' supérieures à /'^', et si l'on fait dans ce qui reste t'= i, on aura, en supposant x' pair et égal à 2r-h 2, le coeffi-
QEuvres de L. — VU. 80
68i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
cient de t-^t'^", ou
^ [n- {L±JlI Ri , , (^ + a)(/--4-i)...4 p^{-^'\ f,
i.'2...(r-f-2) 7'''^- L ' p' ~^"' i.2...(r-+-i) //'•-' Ji
Jj",u:-' = '/'-'^~' < (.r — i)(,r — a). . .(.r — /• — 2) p'
et, dans le cas de r' impair ou égal à 2/- + i,
. /■''~^\ fPjtI±\ . (•r-i)Cr — 2)/;^'h-;?',\2
(■r-i)(.r-2)...(.r-r — I) p'r+j r ^ //mm\ p^^ (/- + [);• //,2 (/•-4-0^...3 ///-H
I.2...(rH-l) '/'^'l \ I /yj' 1.2 //^ "^■■•^ 1.2. ..(/- — I)7^J
Il est visible que le joueur B ne peut espérer de gagner qu'autant que ac est plus grand que r+ i, soit que x' égale 2^^- 2 ou 2/'+ i; et effectivement, hors de cette supposition, les valeurs précédentes de yx,x' deviennent toutes égales à l'unité.
Nous ferons aussi remarquer que le joueur A a nécessairement gagné la partie lorsque le joueur B aura tiré x — r— i boules noires avant d'avoir atteint .r' points; mais ce dernier joueur peut encore avoir perdu avant d'avoir amené la totalité de ce nombre de boules noires, ce qui fait que cette question n'est point susceptible de rentrer dans celle qui est traitée dans la Théorie analytique, à la suite du problème des partis, comme précédemment une supposition semblable nous a conduits à ce dernier problème.
3. Le problème des partis ayant été l'objet des recherches de deux
SUPPLEMENTS. 635
grands géomètres du xvu'' siècle (*), et en quelque sorte le premier de ce genre soumis à des méthodes analytiques, on sera peut-être curieux devoir comment ce même problème se déduit encore, comme corollaire, d'une autre question de probabilité, dont la solution offrira d'ailleurs une nouvelle application de la méthode des fonctions génératrices.
On tire successivement d'une urne, qui contient une quantité déterminée de boules blanches et noires, une boule que l'on ne remet point après le coup, et l'on demande, après un certain nombre de tirages connus, quelle est la probabilité de compléter la sortie de tel nombre donné de boules blanches avant celle de tel autre nombre, également donné, de boules noires.
Soient a et a! les nombres de boules blanches et noires contenues primitivement dans l'urne, n le nombre de boules blanches que l'on se propose d'atteindre avant d'avoir extrait un autre nombre n'de boules noires; et supposons qu'après avoir tiré successivement de l'urne une boule sans la remettre, on ait amené n — x boules blanches et n! — x' boules noires, x et x' étant alors les nombres de boules blanches et noires qu'il reste à faire sortir pour décider la question. Représentons par j^,^.' la probabilité d'amener dans les tirages suivants x boules blanches avant x' boules noires, ou d'atteindre la totalité des n boules blanches avant d'avoir extrait ri noires; on aura, d'après les règles connues des probabilités, l'équation
a — n->rx a'—n!^x'
V-'T. -f — a-^a'—n — n'+jc -f- ^■' •^•^" ' ' ''' a -h a — n — li + x ~h x' -^ '■ '' " ' *
Faisons
a — n-^ X ^s, a' — n' + x' = s' et j., ,i./=r «.^ ^»;
l'équation précédente devient
(i) Pascal ol Fermât.
et, en supposant
elle se ramène à cette forme
Zs,s' = Zs— I , i* + Zs s'— ( )
équation aux différences partielles à coefficients constants, laquelle doit avoir lieu pour toutes les valeurs entières et positives de s et de s', à partir de s = a — n et de s'= a! — n\ et donne conséquemment pour la fonction génératrice de s^,/
ia~n l'a'— II'
A étant une fonction arbitraire de t, et A' une fonction arbitraire de t'. On peut toujours transformer cette expression en celle-ci
ta~n t'a'-ni ^l + A', ^' l— t— t'
dans laquelle A, et A', sont de nouvelles fonctions arbitraires de t et de t' . Pour les déterminer, nous observerons que, jo,o ne pouvant avoir lieu et j^,o étant égal à zéro, quelles que soient les valeurs entières et positives de x, on aura
