DONT LES POSSIBILITÉS RESPECTIVES SONT DONNÉES

Expression du nombre de combinaisons de n lettres prises /• à /• lorsqu'on a égard ou non à leur situation respective. Application aux loteries. N" 3 ini

Une loterie étant composée de n numéros dont r sortent ci chaque tirage, on demande la prohabilité qu'après i tirages tous les numéros seront sortis. Solution générale du problème. Expression très simple et très approchée de la probabilité lorsque n et / sont de grands nombres. Application au cas où n = loooo et /• = i. Il y a, dans ce cas, un peu moins d'un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages et un peu plus d'un contre un à parier qu'ils sortiront dans 95768 tirages. Dans le cas de la loterie de France, où « = 90 et /• = 5, il y a un peu moins d'un contre un à parier que tous les numéros sortiront dans 85 tirages, et un peu plus d'un contre un à parier qu'ils sortiront dans 86 tirages. N" 4 iq-j

Une urne étant supposée renfermer le nombre x de boules, on en tire une partie ou la totalité, et l'on demande la prob'abiUté que le nombre de boules extraites sera pair. Solution du problème. 11 y a de l'avantage à parier pour un nombre impair NT) ^

Expression de la probabilité d'amener x boules blanches, .r' boules noires, x" boules rouges, etc., en tirant une boule de chacune des urnes dont le nombre est

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et^qui renferment chacune /) boules blanches, q boules noires, r boules rouges, etc. Déterminer la probabilité de tirer ainsi des urnes précédentes x boules 'blanches,

cLxiv TABLE DES MATIERES.

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avant d'amener soit x' boules noires, soit x" boules rouges, soit, etc. Solution du problème par la mélhode des combinaisons. Identité de ce problème avec celui qui consiste à déterminer les sorts d'un nombres de joueurs dont les adresses respectives sont connues lorsqu'il manque, pour gagner la partie, x coups au premier, x' au second, x" au troisième, etc. N° 7 207

Solution générale du problème précédent par l'analyse des fonctions génératrices. Dans le cas de deux joueurs A et B dont les adresses respectives sont égales, le problème est celui que Pascal proposa à Fermât et que ces doux grands géomètres résolurent. Il revient à imaginer une urne qui i-enferme deux boules, l'une blanche et l'autre noire, portant chacune le n" ■! , la boule blanche étant pour le joueur A, la boule noire pour le joueur B. On tire de l'urne une boule que l'on y remet ensuite pour procéder à un nouveau tirage, et l'on continue ainsi jusqu'à ce que la somme des numéros sortis, favorables à l'un des joueurs, atteigne un nombre donné. Après un certain nombre de tirages, il manque encore au joueur A le nombre x et au joueur B le nombre x'. Les deux joueurs conviennent alors de se retirer du jeu en partageant l'enjeu qu'ils ont mis en commençant : il s'agit de connaître comment doit se faire ce partage. Ce qui revient aux joueurs doit être évidemment proportionnel à leurs probabilités respectives de gagner la partie. Généralisation et solution du problème : 1° en supposant dans l'urne une boule blanche favorable à A et portant le n" i et deux boules noires favorables à B et portant l'une, le n" 1, et l'autre, le n° 2; chaque boule diminuant de son numéro le nombre des points qui manquent au joueur auquel elle est favorable; 2° en supposant dans l'urne deux boules blanches portant les n°' i et 2 et deux boules noires portant les mêmes numéros. N" 8 209

Concevant dans une urne r boules marquées du n" i , r boules marquées du n° 2, et ainsi de suite jusqu'au n° n; ces boules e'tant bien mêlées dans l'urne et tirées toutes successivement, on demande la probabilité qu'il sortira au moins s boules au rang indiqué par leur numéro. Solution générale du problème et de celui dans lequel, ayante urnes renfermant chacune le nombre n de boules, toutes de couleurs différentes et que l'on tire toutes successivement de chaque urne en complétant le tirage d'une urne avant de passer à une autre urne, on demande la probabilité qu'une ou plusieurs boules do la même couleur sortiront au môme rang dans les tirages complets des urnes. N° 9 219

Deux joueurs A e? B, dont les adresses respectives sont p et q et dont le premier a le nombre a de jetons et le second le nombre b, jouent à cette condition que celui qui perd dxmne un jeton à son adversaire et que la partie ne finisse que lorsque l 'un des joueurs aura perdu tous ses jetons; on demande la probabilité que l'un des joueurs gagnera la partie avant ou au n.i'^me coup. Fonction génératrice de cette probabilité, d'où l'on tire l'expression générale de la probabilité. Expression de la probabilité que la partie finira avant ou au «"'™* coup. Ce qu'elle devient lorsqu'on suppose a infini. Valeur très approchée de la môme expression, lorsque l'on suppose de plus p e[ q égaux et lorsque b est un nombre considérable. Si b = 100, il y a du désavantage à parier un contre un que A gagnera la partie dans 28 780 coups ; mais il y a de l'avantage à parier qu'il la gagnera dans 23781 coups. N° 10 22S

Un nombre n -4- i de joueurs jouent ensemble aux conditions suivantes : deux d'entre eux jouent d'abord, et celui qui perd se retire après avoir mis un franc au jeu, pour n'y rentrer qu'après que tous les autres joueurs ont joué; ce qui a lieu généralement pour tous les joueurs qui perdent et qui par là deviennent les derniers. Celui

TABLE DES MATIÈRES. clxv

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des deujc premiers joueurs qui a gagné joue avec le troisième, et, s'il le gagne, il continue de jouer avec le quatrième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il perde, ou jusqu'à ce qu'il ait gagné successivement tous les joueurs. Dans ce dernier cas, la partie est finie. Mais, si le joueur gagnant au premier coup est vaincu par l'un des autres joueurs, le vainqueur joue avec le joueur suivant et continue de jouer jusqu'à ce qu'il soit vaincu ou jusqu'à ce qu'il ait gagné de suite tous les joueurs. Le jeu continue ainsi juqu'à ce qu'un des joueurs gagne de suite tous les autres, ce qui finit la partie, et alors le joueur qui la gagne emporte tout ce qui a été mis au jeu. Cela posé, on demande : i° la probabilité que le jeu finira avant ou au nombre x de coups; 2° la probabilité que l'un quelconque des joueurs gagnera la partie dans ce nombre de coups; 3° son avantage. Solution générale du problème. Fonctions génératrices de ces trois quantités, d'où l'on tire leurs valeurs. Expressions fort simples de ces quantités, lorsque x est infini ou lorsque le jeu est continué indéfiniment. N° •! 1 i\i

<] étant la probabilité d'un événement simple à chaque coup, on demande la probabilité de l'amener i fois de suite dans le nombre x de coups. Solution du problème. Fonction génératrice de cette probabilité, d'où l'on tire l'expression de la probabilité.

Deux joueurs A et B, dont les adresses respectives sont q et i — q, jouent à cette condition que celui des deux qui aura le premier vaincu i fois de suite son adversaire gagnera lapartie ; on demande les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie, avant ou au coup x. Solution du problème au moyen des fonctions génératrices. Expressions de ces probabilités dans le cas de x infini. Sorts respectifs des joueurs, en supposant qu'à chaque coup qu'ils perdent, ils déposent un franc au jeu. NM2 23 1

Une urne étant supposée contenir n -\- 1 boules, distinguées par les /i°' o,ï,i,3, ...,n, on en tire une boule que l'on remet dans l'urne après le tirage; on demande la probabilité' qu'après i tirages la somme des nombres amenés sera égale à s. Solution du problème fondée sur un artifice singulier, qui consiste dans l'emploi d'une caractéristique propre à faire connaître la diminution successive qu'il faut faire subir à la variable, dans chaque terme du résultat final des intégrations successives, lorsqu'elles sont discontinues. Application de la solution au problème qui consiste à déterminer la probabilité d'amener un nombre donné, en projetant i dés, chacun d'un nombre « -+- 1 de faces, et au problème où l'on cherche la probabilité que la somme des inclinaisons à l'écliptique d'un nombre s d'orbites sera comprise dans des limites données, en supposant toutes les inclinaisons, depuis zéro jusqu'à l'angle droit, également possibles. On fait voir que l'existence d'une cause commune qui a dirige les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du Soleil, est indiquée avec une probabilité excessivement approchante de la certitude et bien supérieure à celle du plus grand nombre des faits historiques, sur lesquels on ne se permet aucun doute. La même solution, appliquée au mouvement et aux orbites des cent comètes observées jusqu'à ce jour, prouve que rien n'indicpic, dans ces astres, une cause primitive qui ait tendu à les faire mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre, ou sous une inclinaison plutôt que sous une autre, au plan de l'écliptique. N° 13 -x^-

Solution du problème exposé au commencement du numéro précédent, dans le cas où le nombre des boules qui portent le môme numéro n'est pas égal à l'unité et varie suivant une loi quelconque. N" 1 i 26 >

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Application de l'arlifice exposé dans le n° 13 à la solution de ce problème. Soient i quantités variables dont la somme est s et dont les lois de possibilité sont connues et peuvent être discontinues ; on propose de trouver la somme des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction quelconque de ces variables, multipliée par la probabilité correspondante ci cette valeur. Application de cette solution à la recherche de la probabihté que l'erreur du résultat d'un nombre quelconque d'observations dont les lois de facilité des erreurs sont exprimées par des fonctions rationnelles et entières de ces erreurs sera comprise dans des limites données.

Application de la môme solution à la recherche d'une règle propre à faire connaître le résultat le plus probable des opinions émises par les divers membres d'un tribunal ; cette règle n'est point applicable aux choix des assemblées électorales. Règle relative à ces choix, lorsqu'on fait abstraction des passions des électeurs et des considérations étrangères au mérite, qui peuvent les déterminer. Ces diverses causes rendent celte règle sujette à de graves inconvénients qui l'ont fait abandonner.

Recherche de la loi de probabilité des erreurs des observations, moyenne entre toutes celles qui satisfont aux conditions que les erreurs positives soient les mêmes que les erreurs négatives, et que leur probabilité diminue quand elles augmentent. NM5 ! 2C6

Chapitre III. — Des lois de l.\ probabilité qui résultent de l.v multiplicatioiN