INDÉFINIE DES ÉVÉNEMENTS

p étant la probabilité de l'arrivée d'un événement simple à chaque coup et i — p celle de sa non-arrivée, déterminer la probabilité que, sur un très grand iwmbre n de coups, le nombre de fois que l'événement encra lieu sera compris dans des limites données. Solution du problème. Le nombre de fois le plus probable est np. Expression de la probabilité que ce nombre de fois sera compris dans les limites np zh l. Les limites ± / restant les mêmes, cette probabilité augmente avec le nombre n de coups : la probabilité restant la même, le rapport de l'intervalle il des limites au nombre n se resserre quand n augmente, et, dans le cas de n infini, ce rapport devient nul et la probabilité se change en certitude. La solution du problème précédent sert encore à déterminer la probabihté que la valeur de p, supposée inconnue, est comprise dans des limites données, lorsque, sur un très grand nombre n de coups, on connaît le nombre i des événements correspondants à /» qui sont arrivés :

p est à très peu près -, et généralement lorsque, dans un coup, il doit arriver l'un

quelconque de plusieurs événements simples, les probabilités respectives de ces événements sont à très peu près proportionnelles au nombre de fois qu'ils arriveront dans un très grand nombre n de coups. P étant la probabilité de l'arrivée d'un événement composé de deux événements simples, dont/? et i — p sont les possibilités respectives et i — P étant la probabilité de la non-arrivée de cet événement composé, si sur un très grand nombre n d'arrivées et de non-arrivées du même événement, on connaît le nombre i de ces arrivées, on a la probabilité que la valeur de P sera comprise dans des limites données, et, comme Pest une fonction connue de/?, on en conclut la probabihté que la valeur de p sera comprise dans des Hmites données. N° 16 u-jH

Une urne A renfermant un très grand nombre n de boules blanches et noires.

TABLE DES MATIÈRES. clxvii

à chaque tirage, on en extrait une que l'on remplace par une boule noire; on demande la probabilité que, après r tirages, le nombre des boules blanches

sera x.

La solution du problème dépend d'une équation linéaire aux différences finies partielles du premier ordre, à coefficients Aariables. Réduction de celte équation à une équation aux différences partielles infiniment petites. Intégration de cette dernière équation. Application de la solution au cas où l'urne est remplie primitivement de celte manière : on projette un prisme droit dont la base, étant un polygone régulier de p-^q côtés, est assez étroite pour que le prisme ne retombe jamais sur elle; sur les p-\-q faces latérales, p sont blanches et q sont noires et l'on met, dans l'urne A, à chaque projection, une boule de la couleur do la face sur la((uellc le prisme retombe.

Deux urnes KetB renferment chacune un très grand nombre n de boules blanches et noires, le nombre des blanches étant égal à celui des noires dans la totalité in des boules; on tire en même temps une boule de chaque urne, et l'on remet dans une urne la boule extraite de l'autre. En répétant un nombre quelconque r de fois cette opération, on demande la probabilité qu'il y aura x boules blanches dans l'urne A.

Le problème dépend d'une équation linéaire aux différences finies partielles du second ordre, à coefficients variables. Réduction de cette équation à une équation aux différences partielles infiniment petites du second ordre. Intégration de cette dernière équation au moyen d'une intégrale définie. Développement de cette intégrale en séries. Détermination des constantes de la série au moyen de sa valeur initiale. Théorèmes analytiques relatifs à cet objet. Application de la solution au cas où l'urne A est primitivement remplie, comme dans le problème précédent. Valeur moyenne des boules blanches de chaque urne, après r tirages. Expression générale de cette valeur, dans le cas où l'on a un nombre e d'urnes disposées circulairement et renfermant chacune un grand nombre «de boules, les unes blanches et les autres noires, chaque tirage consistant à extraire en même temps une boule de cliaque urne et à la remettre dans la suivante, en parlant de l'une d'elles, dans un sens déterminé NM7 .*

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Chapitre IV. — Dk l\ probabihtk des erreurs des résultats moyens d'un grand

NOMBRE d'observations ET DES RÉSULTATS MOYENS LES PLUS AVANTAGEUX 309

Déterminer la probabilité que la somme des erreurs d'un grand nombre d'obser^atums sera comprise dans des limites données, en supposant que la loi de possibilité des erreurs est connue, et la même pour chaque obsermtion, et que les erreurs négatives sont aussi possibles que les erreurs positives correspondantes. Expression générale de cette probabilité. N° 18

Déterminer, dans les suppositions précédentes, la probabilité 'que la somme des er- ""^ retirs d'un grand nombre d'observations ou la somme de leurs carrés, de leur, cubes, etc., sera comprise dans des limites données, abstraction faite du si«ne Expression générale de celte probabilité et de la somme la plus probable N» Î9 3,4

Un clément étant connu à fort peu près, déterminer sa correction par l'ensemble d un grand nombre d'observation.,. Formation des équations de condition. En les disposant de manière que, dans chacune d'elles, le coefficient de la correction de 1 élément ait le même signe, et les ajoutant, on forme une équation finale qui donne

cLxvin TABLE DES MATIÈRES.

P«îes

une correction moyenne. Expression de la probabilité que l'erreur de cette correction moyenne est comprise dans des limites données. La manière la plus générale de former l'équation finale est de multiplier chaque équation de condition par un facteur indéterminé et d'ajouter tous ces produits. Expression de la probabilité que l'erreur de la correction donnée par cette équation finale est comprise dans des limites données. Expression do l'erreur moyenne que l'on peut craindre en plus ou en moins. Détermination du système de facteurs qui rend celte erreur un minimum. On est conduit alors au résultat que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Erreur moyenne de son résultat. Son expression dépend de la loi de facilité des erreurs des observations. Moyen de l'en rendre indépendant. N° 20 3 1 8

Corriger, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, plusieurs éléments déjà connus à fort peu près. Formation des équations de condition. En les multipliant chacune par un facteur indéterminé et ajoutant les produits, on forme une première équation finale : un second système de facteurs donne une seconde équation finale, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait autant d'équations finales qu'il y a d'éléments à corriger. Expression des erreurs moyennes que l'on peut craindre sur chaque élément corrigé par ces équations finales. Détermination des systèmes de facteurs par la condition que ces erreurs moyennes soient des minima. On retombe dans la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; d'où il suit que cette méthode est celle que le Calcul des probabilités indique comme étant la plus avantageuse. Expression des erreurs moyennes qu'elle laisse encore à craindre, en plus ou en moins, sur chaque élément. Ces expressions sont indépendantes de la loi de facilité des erreurs de chaque observation et ne renferment que des données des observations. Moyen simple de comparer entre elles, du côté de la précision, diverses Tables astronomiques d'un môme astre. N" 21 327

Examen du cas où la possibilité des erreurs négatives n'est pas la même que celle des erreurs positives. Résultat moyen vers lequel converge la somme des produits des erreurs d'un grand nombre d'observations, par des facteurs quelconques; probabilité de cette convergence. N° 22 335

Examen du cas où l'on considère les observations déjà faites. Alors l'erreur de la première donne les erreurs de toutes les autres. La probabilité de cette erreur, prise a posteriori ou d'après les observations déjà faites, est le produit des probabilités respectives a priori des erreurs de chaque observation. En concevant donc une courbe dont l'abscisse soit l'erreur de la première observation, et dont ce produit soit l'ordonnée, cette courbe sera celle des probabilités a posteriori des erreurs de la première observation. L'erreur qu'il faut lui supposer est l'abscisse correspondante à l'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en deux parties égales. La valeur de cette abscisse dépond de la loi inconnue des probabilités «/'/-/o/'i des erreurs des observations, et dans celte ignorance, il convient de s'en tenir au résultat le plus avantageux, déterminé « jonoz-i par les articles précédents. Recherche de la loi des probabilités a priori des erreurs, qui donne constamment la somme des erreurs nulle pour le résultat qu'il faut choisir a posteriori. Cette loi donne généralement la règle du minimum des carrés des erreurs des observations. Cette dernière règle devient nécessaire lorsque Ton doit choisir un résultat moyen entre plusieurs résultats, donnés chacun par un grand nombre d'observations de divers genres. N° 23 338

Recherche du système de corrections de plusieurs éléments par un grand nombre

TABLE DES MATIÈRES. clxix

Pa?es

d'observations, qui rend un minimum, abstraction faite du signe, la plus grande des erreurs qu'il leur suppose. Ce système est celui qui rend un minimum la somme des puissances semblables, très élevées et paires, de chaque erreur. II diffère peu du système donné par la méthode des moindres carrés des erreurs des observations. Notice historique sur les méthodes de correction des éléments par les observations N°24 348

Chapitre V. — Application du Calcul des Probabilités a la recherche des phénomènes ET DE LEURS CAUSES 355

On peut, par l'analyse des Chapitres précédents, appliquée à un grand nombre d'observations, déterminer la probabilité de l'existence des phénomènes dont l'étendue est assez petite pour être comprise dans les limites des erreurs de chaque observation. Formules qui expriment que les probabilités de l'existence du phénomène et do son étendue sont comprises dans des limites données. Application à la variation diurne du baromètre et à la rotation de la Terre, déduite des expériences sur la chute des corps. La môme analyse est applicable aux questions les plus délicates de l'Astronomie, de l'Économie politique, de la Médecine, etc., et à la solution des problèmes sur les hasards, trop compliqués pour être résolus directement par l'analyse. Un plancher étant divisé en petits carreaux rectangles par des lignes parallèles et perpendiculaires entre elles, déterminer la probabilité que, en projetant au hasard une aiguille, elle retombera sur un joint de ces carrccaix N°25 355

Chapitre VI. — De la probabilité des causes et des événements futurs, tirée des