LIVRE PREMIER

tités algébriques, et infiniment petits dans les quantités logarithmiques.

On peut encore établir en principe qu'une fonction radicale d'une

variable ne peut pas être identique avec une fonction rationnelle de la

même variable ou avec une autre fonction radicale. Ainsi (i + ^')* est

essentiellement distinct de (i + oc^Y et de (i + œ)'.

Ces principes, fondés sur la nature même des fonctions, peuvent être d'une grande utilité dans les recherches analytiques, en indiquant les formes dont les fonctions que l'on se propose de trouver sont susceptibles, et en démontrant leur impossibilité dans un grand nombre de cas; mais alors il faut être bien sûr de n'omettre aucune des formes possibles. Ainsi la difTérentiation laissant subsister les quantités exponentielles et radicales, et ne faisant disparaître les quantités logarithmiques qu'autant qu'elles sont multipliées par des constantes, on doit en conclure que l'intégrale d'une fonction différentielle ne peut renfermer d'autres quantités exponentielles et radicales que celles qui sont contenues dans cette fonction. Par ce moyen, j'ai reconnu que l'on ne peut pas obtenir en fonction finie, explicite ou implicite, de la

variables, l'intégrale /■ J'ai démontré pareillement que

^ J s/i + ocx^-hëx' ^ ^

les équations linéaires aux différences partielles du second ordre entre trois variables ne sont pas, le plus souvent, susceptibles d'être intégrées sous une forme finie, ce qui m'a conduit à une méthode générale pour les intégrer sous cette forme, lorsqu'elle est possible. Dans les autres cas, on ne peut obtenir une intégrale finie qu'au moyen d'intégrales définies.

Leibnitz ayant adapté au Calcul différentiel une caractéristique très commode, il imagina de lui donner les mêmes exposants qu'aux grandeurs; mais alors ces exposants, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne conduisit Leibnitz à ce théorème remarquable, savoir, que la différentielle/i'*^'"^ d'un produit xyz... est égale à {dœ -]- dy -h dz -h ...)",

pourvu que, dans le développement de ce polynôme, on applique à la caractéristique d les exposants des puissances de dx, dy, dz, ..., et qu'ainsi l'on écrive d'' x d''' y d''" z . . ., au lieu de [dxj [dyj' [dz)''" . . . , en ayant soin de changer d^ x, d^y, d^ z, . . . , en x,y, z, .... Ce grand géomètre observa de plus que ce théorème subsiste en y supposant n négatif, pourvu que l'on change les différentielles négatives en intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière des puissances et des différences dans tous sesdéveloppements, et, par une suite d'inductions très fines et très heureuses, il en a déduit des formules générales aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissements finis divers, et lorsque ces accroissements sont infiniment petits. Son Mémoire sur cet objet, inséré dans le Recueil de l'Académie de Berlin pour l'année 1772, peut être regardé comme une des plus belles applications que l'on ait faites de la méthode des inductions. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques la notation cartésienne; elle montre en même temps avec évidence l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques, et nous allons voir tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations linéaires aux différences en découler avec une extrême facilité.