DES FONCTIONS GENERATRICES A UNE VARIABLE

2. Soit j;c une fonction quelconque de x; si l'on forme la suite infinie

on peut toujours concevoir une fonction de t qui, développée suivant les puissances de t, donne cette suite : cette fonction est ce que je nomme /onction génératrice de y^;.

La fonction génératrice d'une variable quelconque j^^ est donc généralement une fonction de ^ qui, développée suivant les puissances det, a cette variable pour coefficient de f"; et réciproquement, la variable correspondante d'une fonction génératrice est le coefficient de t'' dans le développement de cette fonction suivant les puissances de^; en sorte que l'exposant de la puissance de t indique le rang que la variable j^ occupe dans la série, que l'on peut concevoir prolongée indéfiniment à gauche, relativement aux puissances négatives de t.

Il suit de ces définitions que, a étant la fonction génératrice de j^, celle de y^+r est -; car il est visible que le coefficient de t^ dans - est égal à celui de t'^^'' dans u; par conséquent il est égal à y^^^.

Le coefficient de i* dans u (^ — i\ est donc égal àj^^, — y^, ou à la différence des deux quantités consécutives j^^, et j^., différence que nous désignerons par Aj^, A étant la caractéristique des différences finies. On a donc la fonction génératrice de la différence finie d'une quantité variable, en multipliant par^— i la fonction génératrice de

«^npiPMIRPIMpiP

la quantité elle-même. La fonction génératrice de la différence finie

de Ajj-, différence que l'on désigne par A^j^, est ainsi u (j —i\ ; celle

de la différence finie de A\rx> ou A^j^,estMf^— i) , d'où l'on peut généralement conclure que la fonction génératrice de la différence finie A' j^;

est u i 1

Pareillement, le coefficient de t^ dans le développement de ( b c e a \

est

(Ml nommant donc vja; cette quantité, sa fonction génératrice sera

Si l'on nomme v^Jx ce que devient vjx lorsqu'on y change j^ dans vjo- ; si l'on nomme pareillement v^J^ ce que devient V'Jr lorsqu'on y change vja: dans v^J^r» et ainsi de suite, leurs fonctions génératrices correspondantes seront

«l^^+7 + yï + .-.+ ^l .

et généralement la fonction génératrice de v'jx sera

De là il est facile de conclure généralement que la fonction génératrice de A'v^Ja;+/- est

On peut généraliser encore ces résultats, en supposant que vjx repré-