LIVRE PREMIER

sente une fonction quelconque linéaire, finie ou infinie, de y^, Jj:+-o jx+2' • • • ; <IU6 v^J;c soit ce que devient yy^ lorsqu'on y changey^ dans Vjxî que vV;r soit ce que devient V' V;^ lorsqu'on y change vjx dans Sj'^y^, et ainsi de suite ; u étant la fonction génératrice de^^, us' sera la fonction génératrice de v'j:r> ^ étant ce que devient vjx» lorsqu'on y

change j^r dans l'unité, 7^+, dans j^yx+2 dans -^5 Cela est encore

vrai lorsque «est un nombre négatif ou même fractionnaire et incommensurable, en faisant toutefois à ce résultat des modifications convenables.

Représentons par 2 la caractéristique des intégrales finies, et nommons z la fonction génératrice de l^y^, u étant la fonction génératrice ([& y^:', zi- — i\ sera, par ce qui précède, la fonction génératrice

de yx' Mais cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives de t, se réduire à u, qui ne renferme que des puissances positives de /, si l'on n'étend l'intégrale multiple i/j^ qu'aux valeurs positives de x\ on aura donc alors

(y y ABC F

d'où l'on tire

M/'-+- A ;'■-•+ B/'-2-+-Ci'-3 + . ..-h F

A, B, C, . . . , F étant des constantes arbitraires qui répondent aux i constantes arbitraires qu'introduisent les i intégrations successives de 2' 7^.

En faisant abstraction de ces constantes, la fonction génératrice de 2'j^ est wf y — Il ; en sorte que l'on obtient cette fonction génératrice en changeant i dans — i dans la fonction génératrice de A'j^; A-% est donc alors égale à Ty^, c'est-à-dire que les différences négatives se changent en intégrales. Mais, si l'on a égard aux constantes arbitraires, il faut, en passant des puissances positives de - — i à ses puissances négatives, augmenter u de la série — h — + -^ 4- . . . , prolongée jusqu'à ce que le nombre de ses termes soit égal à l'exposant

Œuvres de L. — MI. 2

(le ces puissances. On peut appliquer des considérations semblables à la fonction génératrice de v'ja:-

On voit par ce qui précède de quelle manière les fonctions génératrices se forment de la loi des variables correspondantes. Voyons maintenant comment les variables se déduisent de leurs fonctions génératrices; s étant une fonction quelconque de -5 si l'on développe s'

suivant les puissances de -5 et que l'on désigne par — un terme quelconque de ce développement, le coefficient de t'^ dans — sera ky^-^n',

on aura donc le coefficient de f^ dans us\ coefficient que nous avons désigné précédemment par y' Va; î i'' en substituant dans s, y^ au lieu de -j 2*' en développant ce que devient alors ^' suivant les puissances de yx, et en transportant à l'indice x l'exposant de la puissance de v^., / c'est-à-dire en écrivant r^^, au lieu de [yxY ^ yx+2 au lieu de (j^;)"» etc., et en multipliant les termes indépendants de y^, et qui peuvent être censés avoir {y^Y pour facteur, par y^. Lorsque la caractéristique v se change en A, s est, par ce qui précède, égal à - — i; on a donc alors

A'ja: = yv+i — Ifx+i-i H j-^ fx+i-^ —

Si, au lieu de développer 5' suivant les puissances de j-> on le développe suivant les puissances de - — i , et que l'on désigne par y{:(i — I j un terme quelconque de ce développement, le coefficient de /-^ dans ku(j — i j sera ^A''^^; on aura donc v'ja: : 1° en substituant, dans s, Aj^ au lieu de ^ — i, ou, ce qui revient au même, I j /\j^ au lieu de -; 2" en développant ce que devient alors s' suivant les puissances de Aj^, et en appliquant à la caractéristique A les exposants des puissances de A j^, c'est-à-dire en écrivant Aj^ au lieu de (Aj^)', A^r^ au lieu de (Ay^)% etc., et en multipliant par (Aj^)% ou, ce qui est la même chose, par y^ les termes indépendants de Aj^?-