LIVRE PREMIER

Généralement, si l'on considère s comme une fonction de r, r étant une fonction de -» telle que le coefficient de t^ dans ur soit Dj^» oii aura v'ja;» en substituant, dans s, njjr, au lieu de r; en développant ensuite .v' suivant les puissances de Djx et en appliquant à la caractéristique n les exposants de D Jx» c'est-à-dire en écrivant n jx au lieu de (nrx)» n^Xx au lieu de (CJjx)"» etc., et en multipliant par y^ les termes indépendants de Djj.

Le développement de v'jx paï* une série ordonnée suivant les variations successives Dja;» ^^Jx^ etc., se réduit donc à la formation de la fonction génératrice de r^, au développement de cette fonction suivant les puissances d'une fonction donnée; enfin, au retour de la fonction génératrice ainsi développée , aux coefficients variables correspondants, les exposants des puissances du développement de la fonction génératrice devenant ceux de la caractéristique de ces coefficients. On voit ainsi l'analogie des puissances avec les différences, ou avec toute autre combinaison des coefficients variables consécutifs. Le passage de ces coefficients à leurs fonctions génératrices, et le retour de ces fonctions développées aux coefficients constituent le Calcul des fonctions génératrices . Les applications suivantes en feront connaître l'esprit et les avantages.

De l'interpolation des suites à une l'ariahle, et de V intégration des équations différentielles linéaires.

3. Toute la théorie de l'interpolation des suites se réduit à déterminer, quel que soit i, la valeur de j^.j en fonction des termes qui précèdent ou qui suivent y^. Pour cela, on doit observer que y^+t est égal au coefficient de tj^^i dans le développement de u, et par conséquent égal au coefficient de t"^ dans le développement de -^ or on a

Déplus, le coefficient de ^■^, clans le développement de w, esty^; ce coefficient dans le développement de ui- — i j est Ay^; dans le développement de M ( y — i j , il est égal à A^j^., et ainsi de suite ; l'équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

r^+i = ra:-^ iA Jx+ --— — ^ A2j^+ -^ -^ -^ A3^^-{- . . . .

Cette équation, ayant lieu quel que soit i, en le supposant même fractionnaire, sert à interpoler les suites dont les différences successives vont en décroissant.

Si l'on a l'équation aux différences finies

A^jx = 0 ,

la série précédente se termine, et l'on a, quel que soit ?, en faisant X nul,

C'est l'intégrale complète. de l'équation proposée aux différences, j^, Ajo, .,., A"^^jo étant les n constantes arbitraires de cette intégrale.

Toutes les manières de développer la puissance -. donnent autant

de manières différentes d'interpoler les suites. Soit, par exemple,

I ce

en développant J^ suivant les puissances de a, par la formule (/?) du n° 21 du second livre de la Mécanique céleste, on aura

/ ' /(i + ar-i) i{{-]-3r-i){i-h3r--2) ] \ I + ia H ^^ a- H :r^ se" à