LIVRE PREMIER
a étant égal à ^'(^ — i), le coefficient de t^ dans le développement
de Ma est, par le n" 2, Ay^^; ce même coefficient dans wa^ est ^^JKx-o/-» 6t ainsi de suite. L'équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
4. Voici maintenant une méthode générale d'interpolation, qui a l'avantage de s'appliquer, non seulement aux séries dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux séries dont la dernière raison des termes est celle d'une suite quelconque récurrente.
Supposons d'abord que l'on ait
et cherchons la valeur de -. dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de z. Il est clair que ^ est égal au coefficient de 0' dans le
développement de la fraction — ^. Si l'on multiplie le numérateur et
le dénominateur de cette fraction par i — G/, on aura celle-ci
I — Bt
L'équation (i) donne
ce qui change la fraction précédente dans celle-ci,
\~Bt
or on a
I r ZB 2202
d'ailleurs le coefficient de O'' dans le développement de — ^.-.- est s[s -\- \\ [s -^ i\ . , As + r — \\
d'où il suit que le coefficient de 0' est : i° ? + i dans le développement (Je - — -— ; 2'' -' '~r-- - dans le développement de -, ^ry-:
i" ^ , ^ o / r «ans le développement de -, ;,,, , et
ainsi du reste; donc, si l'on nomme Z le coefficient de 6' dans le développement de la fonction
on aura
ou
z = (/ + .)! I-.- L(l±l)liiLlf + [(i±j0!zilllii±.0!zi4]i! ^ ^ ^1 1.2.3 1,2.3.4.5 ^"
si l'on nomme ensuite Z' le coefficient de 6' dans le développement de
on aura Z' en changeant i en / — i dans Z, ce qui donne
on aura ainsi Z — ^Z' pour le coefficient de 0' dans le développement
de la fraction
\ — Bt
ce sera par conséquent l'expression de -.-, partant,
Cela posé, le coefficient de t^ dans -. est jxw ^^6 même coefficient, dans un terme quelconque de nZ tel que kuz'^ ou kiW y- — - i J , est, par le ïf 2, kX-'y^.^,.. Dans un terme quelconque de utZ', tel que kutz'' o\\kut''^^{~ ~ i\ , ce coefficient est ^-A*''j^,,„,; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients, ; (/ + i)2,
On peut donner les formes suivantes à l'expression précédente. Soit Z" ce que devient Z' lorsqu'on y change i dans i— i, et par conséquent ce que devient Z lorsqu'on y change i dans i — 2. L'équation
donnera
par conséquent,
i IIH - — Z "
/' t En ajoutant ces deux valeurs de - et prenant la moitié de leur somme,
on aura
^=^Z-iZ-+i(. + 0(^-i)z';
or on a
'. ^z-iz-^:.-A, + ^M/--0 ,^/!(/--0(/--4)^3H-
partant, -
?="L'^ -'(7-') ^tW' (7-") ^••■J
d'où l'on conclut, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
Cette formule sert à interpoler entre un nombre impair 2^ + 1 de quantités équidistantes; l'intervalle commun qui les sépare étant pris pour unité, 7^ est la moyenne des grandeurs jo» J.. J2. • • • » y2x^ et « est la distance de 7^+,- à cette moyenne. L'expression précédente est alors symétrique relativement à ces grandeurs; car A=^j^, , par exemple, est égal à j^,, - 27^4- j^,, et Aj^ + Aj^, est égal à yx^^ — Jx-i- Ainsi les quantités placées au-dessus et au-dessous de la moyenne y^ entrent de la même manière dans cette expression.
Si l'on change i en « -h i dans la dernière expression de -., et si l'on
en retranche cette expression elle-même, on aura l'expression de
