Supposons généralement

on aura

/« q qt qP qf^-^

ï«+ ' ~~ ~qt qT- ~ 'qP ~~ " ' ~ ^^'

éliminant -^7 du second membre de cette équation au moyen de la proposée (a), on aura • /?(-5 — a) , pb-hq{z — n]

Cette expression de —^ ne renferme que des puissances de - d'un ordre inférieur à n. En la multipliant par -? on aura une expression de — ^) qui renfermera la puissance — ; mais, en éliminant encore cette puissance au moyen de la proposée [a), on réduira l'expression de -^ à ne contenir que des puissances de - inférieures à /?. En continuant ainsi, on parviendra à une expression de -.5 qui ne renfermera que des puissances de - moindres que n, et qui sera par conséquent

de la forme

z, Zf*\ Z^^^ . . . étant des fonctions rationnelles et entières de z, dans

lesquelles la plus haute puissance de z ne surpasse pas -•

Cette manière de déterminer^ serait très pénible si i était un grand

nombre; elle conduirait d'ailleurs difficilement à l'expression générale de cette quantité. On y parviendra directement de la manière sui-

vante.

-. est égal au coefficient de 0' dans le développement de la fraction — . Si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette frac-

tion par

et si dans le numérateur on substitue au lieu de z sa valeur

«-+-- + --!-..., on aura

en divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par

I — -: elle devient

La recherche du coefficient de 6' dans le développement de cette fraction se réduit k déterminer, quel que soit r, le coefficient de 0'" dans le développement de la fraction

aQn-{- bd"-*-\- c0«-2 + . . .-{- p6-hq — z6"

Pour cela, considérons généralement la fraction^» P et Q étant aes

fonctions rationnelles et entières de 0, la première étanr d'un ordre inférieur à la seconde. Supposons que Q ait un facteur H — ce élevé à la

puissance s, en sorte que l'on ait

R étant une fonction rationnelle et entière de 9. On pourra décomposer

la fraction ^ en deux autres -ÇQ-^-y + 5, A et B étant des fonctions

rationnelles et entières de 0, la première de l'ordre .y - i , et la seconde d'un ordre inférieur à celui de R; car il est visible qu'en substituant pour A et B des fonctions de cette nature, avec des coefficients indéterminés, en réduisant ensuite les deux fractions au même dénominateur, qui devient alors égal à Q, en égalant enfin la somme de leurs numérateurs à P, la comparaison des puissances semblables de 6 donnera autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés. Cela posé, l'équation

donne

Si l'on considère A, B, P et R comme des fonctions rationnelles et entières de Ô — a, A sera une fonction de l'ordre ^ — i , et par conséquent il sera égal au développement de ^ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de 6 - a, pourvu que l'on s'arrête à la puissance s — I inclusivement. Soit donc

— oc

on aura

— ex]' ie — ac\s-* "^ iT^T^

en rejetant les puissances positives deO — a; ■,-.-- . est par consé-

quent, égal au coefficient de t'-' dans le développement de la fonction

Mo -f- W( ^ + «2^ -h. . .