LIVRE PREMIER

Supposons que l'on ait l'équation différentielle

V^ étant une fonction donnée de x'; il faut, par le n° 6, ajouter à l'expression précédente de <^{u-hx') le terme/V^XJ^y û?r, XJ^r" étant la même fonction de x' que X^^~'^ L'intégrale relative à r doit être prise depuis r= o jusqu'à r = x. Cette intégrale définie peut, par le numéro cité, être transformée en intégrales indéfinies relatives à x.

De la transformation des suites.

9. La théorie des fonctions génératrices peut servir encore à trans former les suites en d'autres qui suivent une loi donnée. Considéron la suite infinie

(V) ro+ria^r2a2-f-. ..+j^a^ + ...,

et nommons, comme ci-dessus, u la somme de la série infinie

le coetficient de f" dans le développement de la fraction -—— sera égal

à la somme de la suite proposée (V), prise depuis le terme y^-a-^ inclusivement jusqu'à l'infini. Soit généralement ^ une fonction quelconque de -, et nommons ny^yf le coefficient de f" dans uz. Les coefficients de f" dans iiz\ uz\ . . . seront n-j^a-^, Il'j^a^, Cela posé, on multipliera le numérateur et le dénominateur de la fraction — ^ parX- — z.

et l'on prendra pour k ce que devient :; lorsqu'on y fait t égal à l'unité ; k — z sera divisible alors par i - -• Soit

, /iO^ /i(2) /t(3)

le quotient de cette division ; on aura

u.hW ( z z-

kt^ \ k ' k-' ' "

ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

Le signes désigne la somme des termes depuis^i? inclusivement jusqu'à l'infini. Supposons maintenant

on aura

n ( J^a-^) = y.^ ( ay-jc + 6 j^+, + cyx+i + ej^-^s H- . . . ) .

En désignant par ^y^. la quantité ay^ + èyo^+^j +-•••, on aura

et généralement on aura

II'-(jj:a-^) ^a-^V'-j^c

On a ensuite