LIVRE PREMIER

ce qui donne

n = - + — -i- ~-\-..., oc a^ x^

on aura donc

Sj-^a-^ =

En faisant x = o, on aura une transformée de la suite proposée, dont les termes suivront une autre loi, et si les quantités Vj.^, V"ja;' ••• vont en décroissant, cette suite sera convergente. Elle se terminera toutes les fois que l'on aura v''ja;=o» ce qui aura lieu lorsque la proposée sera une suite récurrente. On aura donc ainsi la somme des suites récurrentes, à compter d'un terme quelconque yx^-'", et par conséquent on aura aussi la somme de leurs termes, comprise entre deux termes quelconques j^a^ et j^ a^'.

Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences

en séries.

10. En appliquant à des fonctions particulières les principes généraux exposés dans le n" 1, on aura une infinité de théorèmes sur le développement des fonctions en séries. Nous allons présenter ici les plus remarquables.

On a généralement

Or il est clair que le coefficient de t^ dans le premier membre de cette équation est la différence zi'^™^ de y^y x variant de i', car ce coefficient dans M ( - — I J est jx+i — yx ^^ -^Jx» en désignant par la caractéristique 'A les différences finies, lorsque x varie de la quantité i\ d'où il est facile de conclure que ce même coefficient, dans le développement de u[\—\\ , est 'l^^Yx' D'ailleurs, si l'on développe

/^(i-H^ — i) — M suivant les puissances de y — i, les coefficients

de t"^ dans les développements de w(- — ih u[- — \\ , ... sont, par le n° 2, Ajr^;» A^j^, ...; en sorte que ce coefficient, dans MM I 4- y — i) — I , est [(i 4- A/a;)'— i]'S pourvu que dans le développement de cette quantité on applique à la caractéristique A les exposants de puissances de Ay^;» et qu'ainsi, au lieu d'une puissance quelconque (Aj^)'', on écrive A^'ja;; on aura, donc avec cette condition

Si l'on désigne par la caractéristique '2i l'intégrale finie, lorsque x varie de i, '2"/^; sera, par le n° 2, le coefficient de t^ dans le développement de la fonction u{\ — \\ , en faisant abstraction des constantes arbitraires que l'intégration introduit; or on a

de plus, le coefficient de f' dans uy- — \\ est 2''j^, en faisant abstraction des constantes arbitraires; ce coefficient dansz/(- — ij est A'j^a;; on aura donc

(2) '2«j^ = [(i+Ajx)'-il-",