LIVRE PREMIER

pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique A les exposants des puissances de ày^, que l'on change les différences négatives en intégrales et que l'on substitue j^; ^u lieu de A^j^., et comme ce développement renferme l'intégrale l"ya;^ qui peut être censée renfermer n constantes arbitraires, l'équation (2) est encore vraie, en ayant égard aux constantes arbitraires.

On peut observer que cette équation se déduit de l'équation (i), en faisant dans celle-ci n négatif et en y changeant les différences négatives en intégrales, c'est-à-dire, en écrivant 'l"ya; au lieu de 'A^^y^ dans le premier membre; et généralement, dans le développement du second membre, l''yx au lieu de ^''y^-

Les équations (i) et (2) auraient également lieu, si ^c, au lieu de varier de l'unité dans Aj^, variait d'une quantité quelconque ct, pourvu que la variation de x dans 'Ay^ soit égale à m. En effet, il est clair

que, si dans y^; on fait œ =: —■> x' variera de u lorsque x variera de

l'unité; Aj^ se changera dans ày^', la variation de x' étant tr, et 'Ay^. se changera dans 'Ay^', la variation de x' étant m. Maintenant si, après avoir substitué ces quantités dans les équations (i) et (2), on suppose cj infiniment petit et égal à dx\ Ay^' se changera dans la différence infiniment petite dy^. Si de plus on fait i infini et idx'= a, a étant une quantité finie, la variation de x' dans 'Ay^' sera a; on aura donc

j 'l>trjc'= ^

Or on a

log ( I + drjcY = ilog ( I 4- dyj.) = i dyj. = oc ^j',

ce qui donne

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; on a

STATISTîCAL LABOPATOfiY UNIVÉRSITY OP CALIFORNIA BERKELEY u. CALIFORNIA

«r THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,

donc

(3) 'A«jx/=U ''^■' -i) ,

, dXx' \ n

en ayant soin d'appliquer à la caractéristique d les exposants des puissances de dy^\, de changer les différences négatives en intégrales et la quantité ^"jo; ^n j^ .

On peut donner à l'équation (3) cette forme singulière qui nous sera utile dans la suite,

^. dx' ' c 2 'i-^~ J .

En effet, elle donne

Considérons un terme quelconque du développement de

\C^ rfx' j. 2 dx- J ^

/dr A '■ — ^'

tel que k ( -~, J . En le multipliant par c 2 a-^' , et développant cette

dernière quantité, on aura

cette quantité est égale à /c—j~^'~, d'où il est facile de conclure

/ dy ,„, dy „u\"

f.1 dx~' [çl dx' __ (. i dx' j =.\ci d-^-' — C 2 ''•^■' y ='A«J^'.

Si dans les équations (i) et (2) on suppose encore i infiniment petit ^t égal à dûo, on aura