LIVRE PREMIER. M

on a d'ailleurs

les équations (i) et (2) deviendront ainsi

(5) -^? = [log(r + Aj.)ps

On peut observer ici une analogie singulière entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales. L'équation

est la traduction du théorème connu de Taylor, lorsque, dans le développement de son second membre suivant les puissances de -^, on

*■ ax

applique à la caractéristique d les exposants de ces puissances. En élevant les deux membres de cette équation à la puissance n, et appliquant aux caractéristiques 'A et d les exposants des puissances de 'Aj^. etde^v^, on aura l'équation (3), d'où résulte l'équation (4) en changeant les différences négatives en intégrales. L'équation précédente donne

c ''-' =n-'Aj.t.

En prenant les logarithmes de chaque membre, on aura

(0 «^^' = log(.+'Arx).

Supposant ensuite a = i, ce qui change 'Ar^ dans Ar,., et élevant les deux membres de cette équation à la puissance //, on aura l'équation (5), pourvu que l'on applique les exposants des puissances aux caractéristiques. On aura l'équation (6) en faisant n négatif et changeant les puissances négatives en intégrales.

Œuvres de L. — VU. /.

Si, dans l'équation précédente (r), on change a dans i, on aura

^'=1og(,+'Ar.f.

et si l'on y suppose a = i, on aura

^: = iog(. + Ar.).

La comparaison de ces deux valeurs de -^ donne

log(i -h A/^.) =log(i +'Aj^.)'''

d'où l'on tire

'Aja-= (>-)-• Ajx)'- t.

En élevant chaque membre à la puissance n et appliquant les exposants des puissances aux caractéristiques, on aura l'équation (i), d'où résulte l'équation (2), en changeant les différences négatives en intégrales. Les équations (r), (2), (3), (4), (5) et (6) résultent donc du théorème de Taylor, mis sous la forme de l'équation (o), en transformant cette équation suivant les règles de l'Analyse, pourvu que dans les résultats on applique aux caractéristiques les exposants des puissances, que l'on change les différences négatives en intégrales et que l'on substitue la variable elle-même j^ au lieu de ses différences zéro.

Cette analogie des puissances positives avec les différences et des puissances négatives avec les intégrales devient évidente par la théorie des fonctions génératrices. Elle tient, comme on l'a vu, à ce que les produits de la fonction u, génératrice de j^, par les puissances -. — i sont les fonctions génératrices des différences finies successives de j^, X variant d'une quantité quelconque i, tandis que les quotients de u, divisés par ces mêmes puissances, sont les fonctions génératrices des intégrales de r^.

En considérant, au lieu du facteur j. — i et de ses puissances, les

puissances d'une fonction quelconque rationnelle et entière de -? on