LIVRE PREMIER

peut en conclure des théorèmes analogues aux précédents, sur les dérivées successives des fonctions. Je nomme dérivée d'une fonction j^

toute quantité qui en dérive, telle que ay^ + by^^^ + ej^+a -i- En

regardant ensuite cette fonction dérivée comme une nouvelle fonction que je désigne par j^, la quantité ay'^ + by'^^^ -h ey'^.^^ + . . . sera une seconde dérivée de la fonction y^., et ainsi de suite. Lorsque la fonction aya:+ byjc^i 4- .. . devient — ja;+ Ja:+-i» ^^ dérivée devient une différence finie.

Maintenant on a

on a ensuite généralement, par le n^ 2, en désignant par vjx la quantité «jx+ by^+f -+- ej^^a^ • • •» V"yx pour le coefficient de la fonction génératrice du premier membre de cette équation ; de plus on a

Le second membre de cette équation est la fonction génératrice de

dr.v r2 f/2 y.

/x-f- /' -7- -1 -TT + • • •

'' dx 1 . 2 a^c-'

ou dec ''^, en appliquant à la caractéristique </ les exposants de puissances de —--, et écrivant ja: au lieu de (-4^) • De là on conclut que, sous les mêmes conditions, le second membre de l'équation (y) est ia fonction génératrice de

\a + bc''-^ H- ec ''■'■ -t- /jc ''^" + . . . j ,

et qu'ainsi cette équation donne, en repassant des fonctions généra-

trices aux coefficients,

[dyr 2 rf.Vr Sdyr In

a + bc"''' + ee ''■^' + Ac ''"^ -4- . . . J .

On peut ainsi obtenir une infinité de résultats semblables. Nous nous

bornerons au suivant, qui nous sera utile dans la suite : u ( -p — \lt\

\\Jt j

est la fonction génératrice de

n[n — I ) Y n — nr n , -\ y „ — . • . ,

OU de A"j „. De plus, on a

d'où l'on tire, en repassant par l'analyse précédente des fonctions génératrices aux coefficients

11 . Je n'ai considéré jusqu'ici qu'une seule fonction j^ de x; mais la considération du produit de plusieurs fonctions delà même variable conduit à divers résultats curieux et utiles d'analyse. Soit u une fonction de /, etfj: le coefficient de /'' dans le développement de cette fonction ; soit u une fonction de /', et j'p le coefficient de t'"^ dans le développement de cette fonction; soit encore u" une fonction de t", et y^. le coefficient de t'"" dans son développement, et ainsi de suite. Il est clair que r^j^y^.. . . sera le coefficient de t^^t'^^t"'' . . . dans le développement du produit uu'ii" ...; ce produit sera donc la fonction génératrice de rxJxr'x • • •• ï-> fonction génératrice de J^^^i J^^jIm • • • — 7^ X, J.'r • • • , ou de -^yxy'xy.v • • • S6^^ ainsi