LIVRE PREMIER
et la fonction génératrice de A"y^ j'^/^ . . . sera
On prouvera, comme dans le n° 2, que la fonction génératrice de
^".r^J.rJx---sera
c'est-à-dire que l'on peut changer;^ en — n dans la fonction génératrice de ùsJ^yxy'jc • • . , pourvu que l'on change A" dans 2".
Appliquons ces résultats à deux fonctions j^ et j^.. La fonction génératrice de ^"yxy'jc s^ra nu' l-^ — i j • On peut la mettre sous cette forme
en la développant, elle devient
nu
les fonctions
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sont respectivement génératrices des produits y'p A" j^, Aj^A" 'y^;^,, A'j^.A"~- ji;^^2» • • • • L'équation
donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
(8) A«/.rr:,=r'^A«/^+ « A/:, A«-'/.,+, + -^^-'-- AViA«-2j.r^o + . . . . En changeant n dans ~ n, on aura
(9) 2"j..rx - j;2«/x- n Aj1.:s«-' j.,,, -^. "^^-^ ^^r'x^n^'r.v.^ - • • • •
En général, on a
tf t" ...
ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
» ^''r-r'xf.' . . = [(i + A) {. + A')(i + A") ... - 1]«,
pourvu que, dans chaque terme du développement du second membre de cette équation, on place immédiatement après chaque caractéristique A, A', A",..., respectivement ja;» jL' yi' ••• ' ^^ qu'on multiplie ce terme par le produit des fonctions dont il ne contient point la caractéristique. Ainsi, dans le cas de trois variables, on écrira, au lieu de A'^, la quantité y!p j^ A'" j^; au lieu de A'" A""', on écrira y^M'y^ùJ'y'j^, au lieu de A""' A'""", on écrira y^^'''y'^^''"y"^, et ainsi du reste.
En faisant n négatif, l'équation (lo) subsiste encore, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales.
Dans le cas des différences infiniment petites, les caractéristiques A,
A', A", ... se changent en d, d' , d'\ L'équation (lo) devient ainsi,
en négligeant les différentielles d'un ordre supérieur relativement à celles d'un ordre inférieur,
d^r^r'xTx- .. = {d-h d-h d"-r-.. .)«.
Cette équation développée donne, relativement à deux fonctions y^
d"r^r'x = r'x d"r^ + n d/j. </«-< j^ + ^ j~ d^fj. d^-^x^ + . . . .
En faisant n négatif, les différences négatives se changeant en intégrales, on aura
dr
/"yxXx dx" = j; /« j.r dx" n ^^f /«+ ' j^ dx"-*- '
