LIVRE PREMIER

On a

au u

En désignant donc par 'A'^ j^ j^j'^ . . . la différence finie du produit yx^a-fx • • • ♦ lorsque x varie de i, l'équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients

(II) 'A«7,r:.r'; . . .- [(I H- A)'-(i + A')'(i + A")'. . . - i]«,

en observant les conditions prescrites ci-dessus relativement aux caractéristiques A, A', A", ... et à leurs puissances. Cette dernière équation subsiste encore en faisant n négatif, pourvu que l'on change les différences négatives en intégrales.

Supposons

dx' dx'

fxf y'x^ ... deviendront des fonctions dex', que nous désignerons par fx^fx'^ ...; l'équation (ii) donnera ainsi la suivante, en observant que les caractéristiques A, A', ... se changent en d,d',..., et que l'on a

« r. dyr,

dfx'Y^"

I f'y\ ' A « V ... 1/.' 1/'" \ /-• à.L' dx' dx'

équation qui subsiste encore en faisant n négatif et changeant les différences négatives en intégrales.

Ne considérons que deux variables y^ ^^ Jx» ^t supposons/^ -/?■*'; on aura

(3r on a généralement, x variant de l'unité.

on aura donc

(i -h A'y= pfp^.

L'équation (i i) deviendra ainsi

(i3) '^''p'^r^^p-^lp^i + Ajo:)'— i]";

en faisant n négatif, on aura

'^rtn^y. — - r

ax"-* H- bx"---\- . . .,

a, b, ... étant des constantes arbitraires dues à l'intégration n fois répétée de/?^j^. J'ajoute ici ces constantes au second membre de l'équation précédente, parce qu'elles ne sont implicitement renfermées dans son premier terme que lorsque/? = i .

Si l'on fait dans les deux équations précédentes x= —;, i ^ p — i -y- dx' \ogh, on aura

.rfr.r,

'2« A^' jj

dr,j. \ "

ll'Xcdx' ,)

Si dans les équations (i3) et (i4) on suppose i infiniment petit et égal à dx, 'A>^j^ se changera dans d'^p'^y^, et '2'Xj^. se changera dans ^^,J"p''yxdx"\ on aura ensuite

on aura donc

[/>'■ ( I + A j^ )' - I ]« = dxn ; log \p\i~V Ajo: )] I «, et les équations (i3) et (i4) deviendront

dripXy.

(18) f" p-^Tx dx " -— -, ,. [ rt ^ H - 1 -4- A -r «+2 I