DES FONCTIONS GÉNÉRATRICES A DEUX VARIABLES

12. Nommons u une fonction de / et ;' ; supposons qu'en la développant suivant les puissances de t et l\ elle donne la suite infinie

+ro,w -+-ri,i^^' +72,1^2;' +...4-j^ , fx;' 4.^^^,^,;x+i/' +...|.^,^,^oc^-

Le coefficient de /•^/''" sera yx,x'\ ?^sera donc la fonction génératrice de

Si l'on désigne par la caractéristique A les différences finies lorsque x seul varie de l'unité, et par la caractéristique 'A les différences lorsque^-' seul varie de la même quantité, la fonction génératrice de Aj^^- sera, par le n'' 1 , ?J ^ — I J , et celle de 't^y^.x sera ^^ ( ^ — i j ; d'où il est facile de conclure que la fonction génératrice de A'A' j^^^.' sera

En général, si l'on désigne par vjTx.a; la quantité A jx, j/ + B jx+( . x' + C j.c+2,x' + . . .

si l'on désigne pareillement par v%,a; une fonction dans laquelle

Œuvres de L. — VU. 7

VJ-r.a; entre de la même manière que y^^^' dans vja-.a; î si l'on désigne

encore par v^Ja;,a; une fonction dans laquelle v^J^.a; entre de la même

manière que j^-.x' dans vjKa-.x» et ainsi de suite, la fonction génératrice

de V'jœ.x sera

i' tt'

partant, la fonction génératrice de A"A'''^'^y^ a,- sera la fonction génératrice précédente, multipliée par ( 7 — i ) ( ? ~ M

s étant supposée une fonction quelconque de - et de j,^ si l'on développe s' suivant les puissances de ces variables, et que l'on désigne par -~~, un terme quelconque de ce développement, le coefficient de ft"-' dans -^~~, étant ky^^„i,x'+m', on aura celui de /^/'^' dans us\ ou, ce qui revient au même, on aura V%,a;' : 1° en substituant, dans s, y^ au lieu de -, j^' au lieu de \,\ 2" en développant ce que devient alors

us' suivant les puissances de j^ et de 7^', et en appliquant respectivement aux indices x et x' les exposants de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque tel que k{y^f'{ya;'Y'\ kyx+m.x+m, et par conséquent ky^^^ au lieu du terme tout constant k, ou k{y,'Y {y, 'Y.

Si, au lieu de développer s' suivant les puissances de - et de ^, on

le développe suivant les puissances de ^ — i et de p — i, et que l'on

désigne par k(-- i)'"(p — i)"''un terme quelconque de ce dévelop-

pement, le coefficient de t'^t"" dans ku[j-ij [-p-^) étant

k^''"^'^'y^,^■, on aura Vya-.x' - i^'en substituant dans s, àyx,.r' ^^ lieu