LIVRE PREMIER

(le - — I et '!^yx,x f^u lieu de -, — i ; 2° en développant alors s' suivant

les puissances de ^•yx,x' et 'Aj^^^-, et en appliquant aux caractéristiques A et 'A les exposants de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque tel que i?-(Aj^,^')'"('Aya;,a-')'"'> celui-ci X-A'"'A'"'ja;aT', et par conséquent ky^^r^- au lieu du terme constant k.

Soit 2 la caractéristique des intégrales finies relatives à x, et '2 celle des intégrales finies relatives à x' \ soit de plus s la fonction génératrice de V'iJ-' yj.^rc'\ on aura z[- — i) (^ — ij pour la fonction

génératrice de yx.x- Cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives ou nulles de t et de t' , se réduire à m; on aura ainsi, par le n° 2,

«, ^, c, . . ., ^ étant des fonctions arbitraires de /', et a! , b' , c', . . ., q' étant des fonctions arbitraires de t; partant

z ( I - f\TÛ'.^'Y'

De l'interpolation des suites à deux variables, et de r intégration des équations linéaires aux différences partielles.

13. yx+i,x+i est évidemment égal au coefficient de f't'" dans le dt^ veloppement de wp^;; or on a

on aura donc, par le numéro précédent,

rx-, i, .r'-f /■=(!+ A j.r . .c' ) '■ ( M- ' A;rx, ^- ) '■' ;

en développant le second membre de cette équation, on aura

■ A iii — I ) »

}\>:+i,x-+i=Xx,.V + li^Tx.x' H ' ^■Xx,x' -+-. . .

H- i' '^x^,x + ii' A 'A Xx. X' + . . •

Supposons maintenant qu'au lieu d'interpoler suivant les différences de la fonction jj.,^', on veuille interpoler suivant d'autres lois. Pour cela, soit

^ i'^ tt' ^

tw

Si l'on fait

on aura pour z une expression de cette forme

Nous supposerons ici que le coefficient / de la puissance la plus élevée de - est constant ou indépendant de t', et que cette puissance est égale

ou plus grande que la somme des puissances de - et de -7 dans chacun des autres termes de z. Il est facile de conclure de l'équation précé-