LIVRE PREMIER

(]ela posé, si l'on nomme ^Yx,x' la quantité

A J.r, .r' -\- B Xx+ 1 . .c' + G 7x4-2 .x' + • • • + B'j.r,.t'4-l + C'jx+I..r'+1 + . • •

le coefficient t^t^' dans le développement de ~-fp, sera, par le numéro

précédent, \^yx+r,x'+r'-> l'équation précédente donnera par conséquent, en la multipliant par z/, et en passant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

y\v-Jti,x' — ■ \

\ -{-Wi^Xx,.xf+i

M.iXx+K,x'-\-^\^Xx+\,x' + - . . \

+ Wi-'^Xx+K,X>+i-\

Mfl ( Xx+n- \,x>-^ N„- 1 V J.r+H t , X' 4- . . .

+ Mj;i , rx+n-\ .x'+i+ Nj;i , vj>+„ , , x'+ < + . .

14. Si l'on suppose vj^.x'^o» l'équation précédente donnera, en y faisant ^ = o,

M^'^^ M','"', M^'^', . . . étant des fonctions de i et de r. L'expression précédente de yi^x' P6ut être mise sous cette forme très simple.

M('-)ro..r'+r+ Mr'y,.x,'^., + Mr2y2,^4-/-2+. . .

l'intégrale étant prise depuis r = o jusqu'à r — « par rapport au premier terme, depuis / = i jusqu'à r= i par rapport au second terme, et ainsi de suite. Cette expression de j,,^- sera l'intégrale complète de l'équation vjt,a;'= o» ou '

O = A J/, .r' + B Xi+ ^ , xf -1- C J/+2 ,x' -f- . . . 4- Ifi+n . x»

+ . . .-\- hfi^jc'+n-

Il est visible que y,,^', 7<.^', js.o.', • • • , r«-.,^' sont les n fonctions arbitraires qu'introduit l'intégration de l'équation yj/.^ = o. Pour les déterminer, il faut connaître immédiatement ou du moins pouvoir conclure des conditions du problème les /i premiers rangs verticaux de la table suivante :

ro,o,

Jo,2,

7'+ 1.0, Xi+\i\,

Xo,x', 7l,.r', 72,^-'» 73,^'»

70,X'+)» Xi.x'+t, 72,x'+0 73,-i''+l'

fi.x'+i, 7«+l,a:'+l,

Ta.

rs,

7oc,0,

Dans un grand nombre de problèmes, les n premiers rangs verticaux sont donnés par des équations aux différences finies linéaires, et par conséquent par une suite de termes de la forme Ap"". Supposons que l'expression de jo,:r' continue le terme A/>^'; la partie correspondante de yi,x' donnée par la formule {!) sera

mais la fonction

est le développement de