LIVRE PREMIER

26. On peut de là conclure les valeurs de quelques intégrales définies singulières auxquelles j'ai été conduit, comme on le verra dans la suite, parle passage du réel à l'imaginaire. ^

Considérons la double intégrale

JJi dx y df c---^' <'+''' CCS rx,

les intégrales étant prises depuis ^ et j nuls jusqu'à 07 et j infinis. En l'intégrant d'abord par rapport à y, elle devient

dx co'&rx

/dx cosr.

Intégrons-la maintenant par rapport à œ. On a, par le numéro précédent,

fdx ces rx c~y'^^ = — c *^' ,

ce qui donne

fj^y dfdxcosrx. c-y^ '^-*-^'' = \'t: J dy c *^'.

Il s'agit maintenant d'avoir cette dernière intégrale, prise depuis j nul jusqu'à j infini.

Pour cela, donnons-lui cette forme

r étant supposé positif, la quantité [~ ^J a un minimum qui

répond à j = v/-' ce qui donne ir pour ce minimum; soit donc

y devant s'étendre depuis j = o jusqu'à )/ = oo , :; doit s'étendre depuis s = — oo jusqu'à :; = oo . Cette valeur de j donne

dy = ^dz-\-^

\Jz'^ H- 2r

En prenant les intégrales depuis z = — ^ jusqu'à :? = oo , on a

rj Ti r r z dz c'-^^

fdz c-^ = v7^' ---'^==. = o ;

J v/'S^ + ar on a donc

fdyc ^ 'y ' =Sdyc--'-'^r^c-^.rjLdzc--'-^''^Lil.^ partant

On aura généralement, par la même analyse, l'intégrale

prise depuis jK nul jusqu'àj infini, et par conséquent aussi, dans les mêmes limites, l'intégrale

fx ^ dx c ^',

a et b étant positifs et n étant impair. Cela posé, on aura

ff2ydfdxcosrx.c-y^(^+''-''''>z= ;

on a donc

/dxcosrx TT

En différentiant par rapport à r, on a

/x dx sinrx 7:

de là il est facile de conclure la valeur de l'intégrale

a -+- bx) dx co?>rx m -\- 1 n X -}- x'^

prise depuis ^ = — ao jusqu'à .r = 4- oo , le dénominateur n'ayant point de facteurs réels en x du premier degré. Si l'on fait