LIVRE PREMIER

cette intégrale devient, en supposant -^'^-^ = a! ,

ym — n?

/{a! -^hx') dx' \c,os(rx' \/m — n^) cosrn + s'm{rx' \J m— ^^)s'm rn^

Cette intégrale doit être prise comme celle relative à x, depuis ^'= — ac

,x , !»• i' 1 Cx'dx'cosirx' \/m — n-) . , jusqu a ^ = Qo ; or 1 intégrale / r+^ ' P^*^*^ ^^"^ ^^^

limites, est nulle, parce que ses éléments négatifs détruisent ses éléments positifs correspondants ; il en est de même de l'intégrale

rdx's\n(rx' sjm — nA , „ . . . , . ,, , <i • ,

I — — T^r~i.i i la lonction intégrale précédente se réduit d

onca

[ g' CCS m ces (r 3?' y/m — /t^) + 6sinm sin ( rx' y/m — «2 )^'] dx'

On a, par ce qui précède.

dx' ç,Q%{r x' \J m — nA ,

En différentiant cette expression par rapport à r, on a

'x' dx' sin ( rx' \/m — n^

on a donc

TTC

—ryjin — /j'

Ç[a+hx] J m-v-ii

dxcosrx , , , ^

: [a ces m + b sin m 7rc-''v '"-«'.

'.nx -\- x'^ On trouvera, par la même analyse,

/{a + bx] dx?,inrx .

~^-i-^nx-^x-^ =:(6cosrn-a'sinm)7:c-^'«-''\

Si l'on différentie la première de ces deux équations i - i fois par

rapport à m et ensuite 2^ fois par rapport à r, on aura l'expression de

l'intégrale

(0 r ^^^^^{^-^ bx) cosr ;c

Maintenant, M et N étant des fonctions rationnelles et entières de x,

le degré de la première étant supposé plus petit que celui de la seconde, et N étant supposé n'avoir aucun facteur réel du premier degré,

on pourra, comme on sait, décomposer l'intégrale / ^dœcosrx en

différents termes de la forme [i); on aura donc généralement l'expression de cette intégrale définie.

On aura de la même manière la valeur de l'intégrale

^ aa: sinr.r.

27. Reprenons maintenant la formule (B) du n" 23. Le cas de a -t- I = 2 étant le plus ordinaire, nous allons exposer ici les formules qui y sont relatives. La formule (B) devient, dans ce cas.

^ b ) jy dx = \fdt c-^' f U + /

dx 1.2 dx- 1.2.3 dx'^

ICI l on a

t — v^logY — logj,

VlogY — logj

Y' étant le maximum de j, et a étant la valeur de x qui correspond à

ce maximum; U, -t-î ••• sont ce que deviennent u, —■■> lorsqu'on y

change .r en a. Cette formule donne, en l'intégrant depuis ^ = T jusqu'à / = T',

;' , ,r^. I J2U3 r.3 rf^Us "I . . .

Jrdx = \\\. H ^-T— H :, .. . , , + . . . \fdt c-^'

["^•^ L 2 1.1. dx^ 2- i.2.ô.4.a^' J

, , 1 Y .,rJU2 Trf2U3 (T2 + i)rf3Ui -|

1 "^ L "-^ • • ^ • "-^ 1.2.3. ax^ J

Y T'4'^ Td^-\}^ {V''-^i)d^\}' 2 ' dx i.i.dx^ i.'2.'à.dx'

l'intégrale fdtc^' étant prise depuis t = T jusqu'à t = T', et l'intégrale Jydx étant prise depuis la valeur de x qui convient à / = T jus- . qu'à celle qui convient à ^ = T'.

Si l'on suppose T = — oo et T'= co , on aura généralement