LIVRE PREMIER

On a d'ailleurs par le n° 24 fdtc-^' = \J-; la formule précédente devient ainsi

l'intégrale fydx étant prise entre les valeurs de ce qui rendent y nul,

et Y étant le maximum de j, compris entre ces valeurs. Les différents

termes de cette formule se détermineront facilement par le n° 23, ot

l'on aura

d^\ogr

2 dx'^

X devant être changé en a, après les différentiations. On a

la supposition de x ~ a fait disparaître dy; on aura donc

d^ logr d'^Y dx'^ Ydx"^^

Y et ^-^ étant ce que deviennent y et -—■> lorsqu'on y change x en a.

Ainsi, en ne considérant dans la formule [d) que le premier terme de la série, on aura à très peu près

Jydx

V dx-^

Cette expression de §ydx sera d'autant plus approchée que les facteurs de y seront élevés à de plus hautes puissances.

La formule (c) renferme l'intégrale indéfinie Jdtc~'' prise depuis ^ = T jusqu'à / = T', ce qui revient à la prendre depuis t = o jusqu'aux limites T et T', et à retrancher la première intégrale de la seconde. Il n'est pas possible d'obtenir en termes finis l'intégrale prise depuis /nul; mais on l'obtiendra d'une manière fort approchée, si Test

peu considérable, par la série suivante :

Cette série a l'avantage d'être alternativement plus petite ou plus grande que l'intégrale, suivant que l'on s'arrête à un terme positif ou négatif. Ce genre de séries, que l'on peut nommer séries-limites, a ainsi l'avantage de faire connaître les limites des erreurs des approximations. On a encore

fdtc-<'- = Tc-'''\

Ces deux séries finissent toujours par être convergentes, quelle que soit la valeur de T ; mais leur convergence ne commence qu'à des termes éloignés du premier, si 2T- a une valeur considérable; il convient donc de ne les employer que pour des valeurs égales ou moindres que quatre. Pour de plus grandes valeurs, on pourra faire usage de la série suivante, qui donne la valeur de l'intégrale Jdtc-^' depuis t = T jusqu'à / infini,

Cette série est encore une série-limite. En la retranchant de ^sJt., valeur de l'intégrale Jâtc'^'' prise depuis t nul jusqu'à t infini, on aura la valeur de l'intégrale prise depuis t nul jusqu'à / = T. Mais la série a l'inconvénient de finir par être divergente : on obvie à cet inconvénient, en la transformant en fraction continue, comme je l'ai fait dans le

Livre X de la Mécanique céleste, où j'ai trouvé qu'en faisant q ^= -q^i on a, l'intégrale étant prise depuis t = T jusqu'à l'infini,