LIVRE PREMIER

Pour faire usage de cette expression, il faut réduire la fraction con-

tinue

en fractions alternativement plus grandes et plus petites que la fraction entière. Les deux premières fractions sont -» — - ; les numérateurs des fractions suivantes sont tels que le numérateur de la fraction V'"^" est égal au numérateur de la fraction {i~ if^^ plus au numérateur de la fraction [i—if'^^ multiplié par {i - i)q; les dénominateurs se forment de la même manière. Ces fractions successives sont

I ' 1 -f- 7 ' 1 + 3^' I 4- 6^ 4- 372' I +"7o'^"T|rr5^^ '

Lorsque ^ ou ^ sera égal ou moindre que ~, ces fractions donneront d'une manière prompte et approchée la valeur de la fraction entière.

28. On peut facilement étendre l'analyse précédente aux doubles, triples, etc. intégrales. Pour cela, considérons la double intégrale ffydx dx', y étant une fonction de œ et de x', qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Supposons que l'intégrale relative à x' doive être prise depuis une fonction X de ^ jusqu'à une autre fonction X'4- X de la même variable. En faisant ^'r=. X + t\ , l'inté^-rale SJydxdx'se changera dans celle-ci, ffyX'dxdt, l'intégrale relative kt devant être prise depuis i = o jusqu'à / =. i : on peut donc réduire ainsi Vhnégviilc ffydxdx'k des limites constantes et indépendantes des variables qu'elle renferme. Nous supposerons qu'elle a cette forme, et que l'intégrale relative à x est prise depuis x = e jusqu'à x = rr, et que l'intégrale relative à x' est prise depuis x' = 0' jusqu'à x' = u. Cela posé, en nommant Y ce que devient j lorsqu'on y change x et x' en 0 et 0', on fera

OEuvres de L. — VU. j t

en supposant ensuite

on réduira log- dans une suite ordonnée par rapport aux puissances

de II et de ii\ et Ton aura une équation de cette forme

Mu -^n' u'= t-{- t',

dans laquelle M est la partie du développement en série de log -? qui renferme tous les termes multipliés par a, et M' est l'autre partie qui renferme les termes multipliés par u' et qui sont indépendants de u. On partagera l'équation précédente dans les deux suivantes

Mn = t, Wu'—t',

d'où l'on tirera celle-ci, par le retour des suites,

N étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de / et de /', et N' étant uniquement ordonnée par rapport aux puissances de t' , et étant indépendante de /; ces deux suites sont très convergentes, si v renferme des facteurs très élevés. Maintenant on a dxdx' = du(lu'; de plus on a

du = ~-^-- dt ^ -rrr dt ' dt ot

du' = — TTT- dt ; at

mais, dans le produit dudu', la différentielle du est prise en faisant u' constant, ce qui rend t' constant ou dt' = o; on a donc

par conséquent ce qui donne

du = -^ — dt ; ot

, , , d.^t d.Wt'..

du du = --^r— —rii— dt dt' , ot ot