LIVRE PREMIER
Il est facile d'intégrer les divers termes du second membre de cette équation, puisqu'il ne s'agit que d'intégrer des termes de la forme St" dtc'.
Si l'on prend l'intégrale relative à /', depuis i' nul jusqu'à / infini, et que l'on nomme Q le résultat de l'intégration, on aura
l'intégrale relative à ^' étant prise depuis. 3:' = 0' jusqu'à la valeur de.r'
qui répond à t infini. Si l'on change ensuite, dans Y et Q, 9' en ct', et
que l'on nomme Y' et Q' ce que deviennent alors ces quantités, on
aura
Jydx'^X'Ç^,
l'intégrale étant prise depuis ^'= ct' jusqu'à la valeur de x qui répond à t' infini.
En nommant R et R' les intégrales /Q dt et /QV// prises depuis / nul jusqu'à t infini, on aura
SJydxdx'=.XY.-\"^,
l'intégrale relative à x' étant prise depuis ,t'=0' jusqu'à x'=^xs\ et l'intégrale relative à x étant prise depuis x = 6 jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini. Si dans Y, R, Y', R', on change 6 en cj, et que l'on nomme Y,, R,, Y, , R', ce que deviennent alors ces quantités, on aura
jjy rfr rf^' = Y, R , - y; r; ,
l'intégrale relative à x' étant prise entre les limites 0' et rs , et l'intégrale relative à x étant prise depuis x ■=. u jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini ; on aura donc
SJy t/o: rf^' = YR - Y' R' - Y, R, + Y', R', ,
l'intégrale relative à x étant prise entre les limites G et cj, et l'intégrale relative à x' étant prise entre les limites 0' et cr'.
Cette formule répond à la formule (A) du n^ 22, qui n'est relative qu'à une seule variable; elle a, comme elle, l'inconvénient de ne pou-
voir s'étendre aux intervalles voisins du maximum de y. Il faut, pour ces intervalles, employer une méthode analogue à celle du n« 23. Ainsi, en supposant que, dans l'intervalle compris entre 0 et ci, y devienne un maximum relativement à x, en sorte que la condition de ce maximum ne fasse disparaître que la différentielle de j, prise par rapport à .r, on fera
Y étant la valeur de y qui convient à ce maximum et à ^'= 0'; et si, dans l'intervalle compris entre les limites des intégrations relatives à. r et à x', y devient un maximum, on fera
Comme nous aurons besoin principalement, dans la suite, de l'intégï'ale ffydxdx'Y^rke entre les limites de x et de ^r' qui .rendent j nul, nous allons discuter ce cas.
Considérons l'intégrale ffydxdx', y étant une fonction de x, x', qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Si l'on nomme a, a' les valeurs de x, x' qui répondent au maximum dey, et que l'on nomme Y ce maximum, on fera
en supposant ensuite
on substituera ces valeurs dans la fonction log -, et, en la développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de 0, 0', on aura une équation de cette forme
