LIVRE PREMIER

En différentiant ces équations, on aura des difTérentielles de cetle forme

dt = L dQ + l dO',

dt' = h' dQ + r dB'.

Maintenant on a

Sfrdxdx'=fSxdQdB'',

dans le produit d^d^', dd est pris en supposant G' constant, et alors on a

dt = Ld9;

ensuite rsfe' doit être pris en regardant t constant dans le produit dtdt'; alors on a

o = Ld9 +1 dB',

ce qui donne on a donc

dt' = U dB + r d6' ,

d.'^'^I^^Jde-,

dtdi'=dddO'{Ll'~U[); par ce moyen, l'intégrale //y â^Oû^O' est transformée dans celle-ci :

y Ç rdtdt'c-t'-t" J J LI'-L'I

Le dénominateur LI' - L'I est une fonction de 6 et de 6' que l'on réduira en fonction de t et de f, au moyen des valeurs de t et de t' en 0 et e'. On obtiendra ainsi l'intégrale précédente dans une suite de termes de la forme fft'^t"' dtdt'c-''-''\ les intégrales étant prises depuis t et /' égaux à — co , jusqu'à leurs valeurs infinies positives. Ces intégrales sont nulles lorsque l'un des deux nombres n et n' est impair, et dans le cas où ils sont tous deux pairs, n étant égal à 21, et n' à 2i\ on a

ffr-ir-i'didt'c-"-''= 'j.3:5...(2/-i).i.3.5.. .(a/'-i) Si les puissances auxquelles les facteurs de y sont élevés sont très

grandes, alors on a, à très peu près,

as Y

dx^ ^Y'

dx dx' - 'Y -'

dx'^ aY'

'Ll, 3^-f-,, Vri étant ce que deviennent j4' ^'iz? et ^-f^ lorsqu on dx'^ dxdx' dx'^ * . dx- dx dx dx -

y change x et ^' en « et a; l'intégrale //y c/a^ffe' devient ainsi, à fort peu près,

27rY2

/d^ d^\ / d^\ \ \ dx"^ dx'-^ [dxdx'j