CHAPITRE II

DE L INTEGRATION PAR APPROXIMATION DES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFÉRENCES FINIES ET INFINI»fENT PETITES.

29. On a vu, dans le n** 21 , que les intégrales des équations linéaires aux différences entre une variable s, dont la différence est supposée constante, et une fonction 7^ de cette variable, peuvent être mises sous la forme/, = J^c^-p dx, ç étant une fonction de x de la même nature que la fonction génératrice de l'équation proposée aux différences, et l'intégrale étant prise dans des limites déterminées de x. En supposant s un très grand nombre, on aura, par l'analyse précédente, une valeur très approchée de cette intégrale et par conséquent de j,. Mais cette méthode d'approximation étant très importante dans la Théorie des Probabilités, nous allons la développer avec étendue.

Considérons l'équation aux différences finies

A, B, C, . . . étant des fonctions rationnelles et entières de ^, auxquelles nous donnerons cette forme

ïi = b-h b^*^s-hh^^^s{s — i) + 6(3)5(5— i) (5 — 2) H-...,

Aj, est la différence finie de j„ s étant supposé varier de l'unité; A''/,,

A'j,, . . . sont les seconde, troisième, . . . différences de j^, et S est une fonction de s. Cela posé, représentons j, par /x-^ç^a?, ç étantune fonction de X qu'il faut déterminer, ainsi que les limites de l'intégrale. En désignant cc^ par \y, on aura

on aura ensuite

dèr , , d-èy

ax ^ ' dx'^ ^

l'équation (i) aux différences devient ainsi

S = J'ç dx '-

èyln -hb {x — i] -h e [x — i)^ -{- . . .] \ + ^-^^-[«^^^ + b^'H^' - 0 + eW[x -1)2 4-...]

Au lieu de faire y^ égal à jx^v^dx, on peut le supposer égal à /^-•^•^çp dx ; alors on a

Aj^ = Je-''' {c-^ — i)(pdx, A2 j^ = Jc-'^ {c-^ — i]^(^dx,

De plus, si l'on désigne c~-^^ par fy, on aura

ddr , d^§r

cp—SX Z. , ç2 p-SX — ^. ....

en mettant donc les coefficients de l'équation (i) sous cette forme,

A = rt + a(')^ + a(2)52 -}-...,