CH. HÉ&AT

indéfinie dans les deux sens

9. Nous passons aux résultais esî^enliels de la discussion numérique du logarithme.

En appelant t une quantité réelle < i en valeur alfsolue et h x -r- £x) la valeur que prend le logarithme quand on passe dircetement de x à X -\- tx en partant du premier de ees points ai*'C la vahur hx)^ on a

où h est une quantité réelle fo en même temps qu^ z^ La formule générale (10) donne immèdialemenl

série dont la somme est nulle si £ = o, négative si £ > o, car alors tous ses termes sont négatifs, positive enfin si £ > o. Effectivement et à cause de £< 1, ses termes sont alternativement positifs et népitifs avec des valeurs absolues qui décroissent sans cesse et imlitmiment,

10- Au point de %'ue graphique, on en conchil ce qui suit : Quand x se meut sur une demi-droite fixe isf^ue d^ Vorii^ine O^, le point u = l{'^) *^e meut dans le plan des a rrs C\l ', ^\l ' «^w ^^^ parailèle au premier de ees axes^ et erla dans sa d:r^'r::Mi pc^sitiK^ ou né^atiiH;^ selon quej dans son moux^emmt^ le poifit x s^t l.»;^?,^ ou se rapproehe de Vorigine O^, Effectivement le premier oU nient seul de /■ x \ varie en croissant dans le premier cas, en décroissant dans le second.

Nous verrons tout à Theuiv ^^12 inf,^ vpie // traverse Taxe 0„U' quand x traverse la circonférence de raAon i, déc^rito do Toricine O^ comme centre.

11, Le point x^ \ se trou\ant sur la partie po>îli\e de Taxe des quantilés réelles ainsi que toute \aleur posiii\e de .r, on peut atteindre celte dernière par un cheminement exèer.îè e\el;i>î>enH^nt sur cette partie, et ehacjne aeeroiss<Mnent atlrihué à .r sera de la foriue ci-d-^sus £x. Comme on part de x .r„ 1 a\ee la >aleur iniiiale rê.lle /, 1 .= o, Tapplication répétée de la formule (^^7^ montïv tpie la valcvr atttijètr par l{^x) sera

THÉORIE ANALYTIQUE DU LOGARITHME NÉPÉRIEN. l3

toujours réelle et de plus uniqucy parce que tous les chemins de mêmes extrémités dont les sommets appartiennent à la partie positive de l'axe des quantités réelles s'équivalent évidemment.

Cette valeur réelle de l(x) est | o selon que la valeur positive de x à

laquelle elle correspond est 1 1 . Car, en partant de i et marchant sur Taxe OayX', d'abord dans sa direction positive, ensuite dans sa direction négative, l{x) part de o en n'éprouvant jamais que des accroissements positifs dans le premier cas, négatifs dans le second.

12. Quels que soient la valeur de Xy de module Ç, et le chemin suivi pour y arriver y et si Von représente par 'l{x) le premier élément de /(o;), on a

valeur réelle atteinte par l(x) partant rf^ /(i)= o, quand on chemine de i à\ sur la partie positive de Vaxe des quantités réelles (11). lïoùy en particulier y pour modx =z i,

Si X désigne la quantité conjuguée à x, on a constamment

et, par suite (6),

Mais les termes du membre médian sont des quantités conjuguées parce que Xj X le sont sans cesse et que les coefficients de la série (i i) sont tous réels. Ce membre se réduit donc à 2 7(a?), d'où

ce qu'il fallait prouver.

13. Ainsi donc, au point de vue graphique, quand le point x se meut sur une circonférence [0<p, Ç] ayant l'origine 0^. pour centre et Ipour rayony le second élément de l(x) seul varie et le point u = l(x) se meut ainsi sur quelque parallèle à l'axe 0„U".

Quand la rotation de x est directCy la translation de u a la direction de la partie positive de l'axe dont il s' agit y et inversement.

l4 CH. MÉRAY.

Si le passage de Xi à a:,v, s'effectue dans le sens direct, le second élément du rapport ^^ est nécessairement positif (R. 36, I), celui de

Xj^X — ^l «^i-t-l j Xi Xi

également, et, par suite, évidemment aussi celui du second membre de la formule

ï Xi^x^^i

Hm — Wi = 7

I Xi

Le second élément de w^v, — W/, accroissement de l(x)y est donc positif, ce qu'il fallait constater.

En appelant Y^^ V„ les vitesses simultanées de ces deux points ^ on a

(ij bis) \l~X

Si l'on fait tendre a;/+, vers Xi la formule précédente donne effectivement

mod{ Ui^i — iii) I

lim -T-. r =^ -y'

mod(wr,>, — Xi) E,

14. Vaugment xs (1^ est une quantité imaginaire dont les cléments sont le premier^ nul, le second positif.

Nous calculerons plus commodément cette constante ts en donnant à l'anneau la forme utilisée au n° 38 de mon Mémoire sur les radicaux dans la théorie de la fonction 'l'(l^) ^)« ^ vient ainsi, d'après la formule (i6 bis)^

les lettres çr,, gr^, . . ., çr^ conservant, bien entendu, leur sens au lieu cité.

Pour calculer généralement X(i + q — i)y nous observerons que cette quantité n'est pas autre chose que la valeur acquise par l(x) en q^ après un pas fait directement de x = ik x = q^ qu'il nous est évidemment permis de décomposer en deux autres, savoir : le premier de x = i k x = q\ premier élément de q^ le second dcx = q kx =z q'-^ iq" = q.

Le premier de ces deu^ pas donne en q'

THÉORIE ANALYTIQUE DU LOGARITHME NÉPÉRIEN. l5

le second donne en q^ si Ton représente par y^ la pente de q (R. 36, II) En mettant en évidence les éléments de /(y) et posant, pour abréger,

il vient finalement

parce que mody étant = i, le premier élément de X(i ■+- y — i) = /(ç^) s'évanouit (12).

La formule (18) donne donc

(20) i^ = /[4(r.4-r,-i-...-hr<,)],

où, en vertu de la relation (19), F,, . . ., Fo, et, par suite, le jnultiplicateur de i sont des quantités essentiellement positives.

Les formules (19) et (20) diffèrent à peine de celles qu'on tire habituellement de la théorie des fonctions circulaires pour opérer effectivement le calcul numérique de xs.

15. QuandX. est une quantité réelle positive y tout chemin non équivalent au segment [1 , X] de Vaxe des quantités réelles donne pour /(X) une valeur imaginaire.

Car ce segment lui-même donne pour /(X) une quantité réelle (11), et un chemin non équivalent, cette même quantité réelle augmentée de kxs(7) où ta est imaginaire (14) et k réel non = o par hypothèse.

16. Si X est une quantité non réelle positivey /(X) est imaginaire, quel que soit le chemin suivi.

En appelant X(,) la trace de la demi-droite O^IL sur la circonférence [O^., i], nous remplacerons le chemin à suivre par un autre équivalent composé de : I** l'arc de cette circonférence conduisant de a; = i à a; = X(,) par une marche de sens rotatif constant ; 2** par le segment de la demi-droite considérée, qui conduit de a; = X(,j à a? = X.

En supposant d'abord direct l'arc considéré qui, par hypothèse, ne peut

l6 en. MÉRAY.

être nul, appelant n le plus grand nombre des quadrants qui y soient contenus, il est évident qu'on peut écrire

OÙ le dernier facteur n'a aucun élément négatif, puis décomposer i et X|^J en facteurs primaires q de modules = i et de pentes X,<[ i? t,els qu'on pourra effectuer le parcours de cet arc en faisant passera? successivement de i à gr,, puisa q^q^f à q^q^q^^f^i à ^^iÇr^. ,.^2= X^,). On trouvera donc comme ci-dessus (14)

le multiplicateur de i étant essentiellement positif. Quant au segment rectiligne, son parcours laisse invariable le second élément de l{oc) (10). Si l'arc était rétrograde, on trouverait évidemment pour /(X(,j) la valeur

— £(r, +-r,-h...-Hrs)

conjuguée à la précédente.

17. Il résulte des premiers principes de la théorie du cercle que le second élément de /(X) a pour représentation géométrique la longueur même de Varc considéré ci-dessus^ prise positivement ou négativement selon que le sens de son parcours est direct ou rétrograde.

Ce fait se rattache aux applications géométriques, et ce n'est pas ici le lieu de l'approfondir. La formule (17 bis^ suffit toutefois à en faire apercevoir l'exactitude; car, pour ? = i, les vitesses des points a; et w = l{oc) étant toujours égales, les espaces parcourus en même temps par le premier sur la circonférence [0,^, i], à partir de a; = i , et parle second, sur l'axe des seconds éléments à partir de m = o, sont égaux nécessairement aussi. Les mouvements simultanés de ces deux points ont d'ailleurs les directions requises (13).

On ay en particulier ^

27: représentant comme d'habitude la longueur de la circonférence du rayon i. Cette observation n'a aucun intérêt analytique^ parce que toute expression est susceptible de quelque représentation géométrique, et qu'à ce point de vue il n'importe en rien que ce soit l'une ou l'autre. Mais elle était nèccssdiive pour justifier l'usage de représenter par iiti Vaug-