THÉORIE ANALYTIQUE DU LOGARITHME NÉPÉRIEN. I
ment du logarithme népérieriy usage auquel nous nous conformerons désormais.
18. Quand X est infiniment petite ou infinie^ le second élément de l(x) est indéterminé, mais le premier est infini^ négatif dans le premier cas y positif dans le second.
On a effectivement
où /($) est la détermination réelle du logarithme de Ç module de x (12), et où tt" représente Tare de cercle défini ci-dessus (17). Cette dernière quantité est indéterminée comme le mouvement giratoire autour de l'origine O^ dont X peut être animée en s'approchant ou s'éloignant indéfiniment de ce point.
Si Ton suppose ensuite que Ç croisse de o à -H oo par des valeurs en progression géométrique croissante de raison g (positive et > i), les valeurs correspondantes de /(^) seront les termes d'une progression arithmétique
de raison X(n- g — 1)= /(y)>o (5, V) (9), partant croissante; 1(1) croîtra donc de — oo à h- oo.
Les choses se passeront de la même manière pour tout autre mode de
croissance de ^, car 7> dérivée de /(^) (5), étant toujours positive, cette
dernière fonction est toujours croissante.
19. Le signe /(X), posé sans indication complémentaire représente assez souvent l'ensemble des valeurs que /(a:) acquiert en X au bout de tous les chemins pouvant être tracés dea; = iàa: = X et qu'on nomme alors les logarithmes de X. Quelquefois aussi, il représente l'un de ces logarithmes spécifié d'une manière ou d'une autre.
Ce point de vue comporte plusieurs observations utiles. L Si k représente un entier absolument indéterminé (positif y nul ou négatif)^ tous les logarithmes de X sont renfermés dans V expression
/(X)4-Xr.a7rf,
où /(X) désigne l'un d'eux choisis arbitrairement (8).
II. Tous ces logarithmes sont imaginaires, excepté quand X est une quantité réelle positive, cas auquel l'un d'eux, mais un seul, est toujours
rde/ (11), (15), (16).
l8 CH. MÉRÂY.
Alors la notation /(X) représente habituellement cette détermination réelle unique.
III. La relation (i4) cesse (Vétre exacte quand on y remplace les déterminations voulues des logarithmes par d'autres prises au hasard^ mais elle le redevient par V addition au second membre de la constante
où kj k'j . » , sont des entiers convenablement choisis.
Car les déterminations des logarithmes requises pour l'exactitude de cette relation sont respectivement égales à d'autres quelconques augmentées de tels ou tels multiples entiers de 2'Ki (I).
IV. Maisy quand les quantités x', x" ^ . . . sont toutes réelles positii-^es et quand on adopte pour x*^\ x"^\ . . . leurs déterminations positives {K,2IZ)^ pour leurs logarithmes et celui de leur produit leurs déterminations réelles y la relation (i4) subsiste toujours sous la même forme extérieure.
Car, le choix de pareilles déterminations rendant réels à la fois les deux membres de cette relation, il faut de toute nécessité que, dans le terme additionnel (21), le facteur entre parenthèses se réduise à o.
A un facteur constant près (40 et suiv. in/.), cette formule est alors celle qui fait des logarithmes un instrument si expéditif pour l'exécution indirecte des calculs numériques usuels. Les cas particuliers les plus employés sont
( l{x'^')=zK'l(x').
y. Les seconds éléments des logarithmes de X sont ce qu'on nomme les arguments de cette quantité X; ils sont représentés géométriquement par l'arc de cercle défini au n*^ 17, augmenté des multiples entiers de la longueur totale 211 de la circonférence de rayon 1 .
En égalant les seconds éléments des deux membres de la formule (i4) modifiée comme nous l'avons expliqué ci-dessus (III), on obtient en particulier une représentation géométrique partielle de la multiplication, de la division et de l'extraction des racines ; mais à nos yeux elle a un bien minime intérêt.
