THÉORIE ANALYTIQUE DU LOGARITHME NÉPÉRIEN. I
20. Les logarithmes des racines m'^"*' de l'unité ont des valeurs remarquables qu'il est utile de calculer.
En appelant a,^= $^— j la racine principale directe (R. 55), chacune
des autres a pour expression a^ = $ ^ — j , où /z est quelque entier positif < m.
Cela pose, nous représenterons par /(a^)la valeur de /(j7)au bout du plus court chemin de sens direct qui conduit de i à a", sur la circonférence fOjp, ij ayant i pour rayon et l'origine O^ pour centre, et nous allons constater qu on a toujours
(23) '(aj,) ■ - — 27r/.
I. Si\i.est^[,'if (fx), qui est alors une quantité primaire^ a une pente < r (R. 36, II).
De *(i)' = <&(J) = $(;)^,, cl en posant *(i) = P + t P", on déduit
P'2 P"2 __ Q^ j'^^ =: di I, et, par suite, = -h i, puisqu'il s'agit d'une
quantité primaire.
Quant à la seconde alternative, elle est exacte aussi parce que pi et la pente de $([a) varient dans le même sens (R. 39, III).
II. Soit maintenant k un entier positif > 8; aux valeurs successives de X
correspondront pour x'^ les valeurs et pour x"^
Le chemin (25) conduit de i à a^^ de la manière voulue, car cette ligne brisée est inscrite dans la circonférence [O^r, i]; ses côtés, tous égaux à
raod [*(;t^) - ijj sont < i parce que ^ étant < j la pente de * {^^ est •< 1 (I)(R.37 ) ; enfin elle est le plus court chemin tracé sur cette circon-
20 CH. HÉRAY.
férence de i à a^, dans le sens direct parce que, dans$, (Ji croît sans cesse de o à la quantité positive — •< i (R. 39, VII, 2'').
Pour des causes analogues, le chemin (26) est un anneau parcouru dans le sens direct de i à i autour de l'origine.
Cela posé, la formule (23) résulte de l'identité
appliquée au cas où l'on fait marcher x sur le chemin (24), car, d'après ce que nous venons de dire /(o;^) et /(a?"*) prennent les valeurs finales /(a^) et ii^i (7).
Les cas particuliers suivants sont les plus utiles :
/(— 1)=: /(aj)=:|27r£ = 7r/,
/(0=/(ai)--=i27r/ = ~-S /(— 1)— /(aj)=f 271* — Itti.
21. Le logarithme ne cessant d'être olotrope que pour une valeur nulle ou infinie de sa variable (5, I), les phases singulières de la fonction composée lf{x^ y, . ..)ne peuç^ent correspondre qu'à celles de la fonction simple f(xj y ^ ...)? ciinsi qu'aux valeurs de x^y^ ..., qui la rendent nulle ou infinie (2, III).
Le ca{cul par cheminement de Ifix^y^ . . .) se ramène naturellement au tracé de la ligne décrite par U =f(^x^y^ . . .), quand x^ y^ ... marchent sur les chemins donnés, puisau calcul de /(U) sur cette ligne. Quand/(x,^, . ..) est décomposable en facteurs plus simples, la relation (i4) peut rendre l'opération très facile. On en trouvera plus loin un exemple (25, inf.).
22. Une fonction composée de l{x) se trouve naturellement dans une phase singulière ou tout au moins critique, quand x est infiniment petit ou infini (2, III). Assez souvent, on a intérêt à y remplacer x par e^ pour étudier ensuite ce qui s'y passe quand on rend le premier élément dey infini négatif ou positif (33, I, inf.). Par exemple, on trouve immédiatement ainsi que, pour x infiniment petit positif, a7^[/(a7)]^ tend vers o quels que soient les exposants commensurables positifs [jl, v (39, inf.).
23. Le logarithme népérien qui est connu maintenant par ses valeurs numériques et par ses propriétés caractéristiques, à peu près comme Tétaient auparavant les fonctions rationnelles, les monômes irrationnels, etc., fournit un nouvel élément des plus précieux dans l'intégration des fonctions méromorphes ou susceptibles de développements rhizomorphes (*).
Quand la fonction sous le signe d'intégration contient dans son développement un terme de la forme
jc — a
où A n'est pas nul, il lui correspond évidemment dans celui de l'intégrale
le terme
qui introduit dans sa phase singulière en x = a une complication logarithmique.
De ce chef, par exemple, l'intégrale augmente deA.2T:ià chaque révolution directe de x autour du point a. Effectivement, la différence {x — o) se meut toujours par rapport à sa propre origine, comme x relativement au point a (7), etc.
24. Voici la plus importante des propositions qui se rattachent aux considérations de ce genre
Si la fonction fi^x) est méromorphe dans l'aire limitée et imper/orée S, mais olotrope sur son contour (C), l'intégrale définie 1 f{x)dx^ prise
en parcourant ce contour une fois dans le sens direct y est liée au résidu intégral de f{x) dans Vaire considérée j par la relation
(27) / f{x)dx^'i'Ki^f{x).
( ' ) Je propose cette dénomination pour les séries de la forme
où V et iso, TETi, ... sont des entiers, le premier positif, les autres allant sans cesse, soit en croissant, soit en décroissant (algébriquement). Ces développements se rencontrent à chaque instant dans la théorie des fonctions implicites et, par suite, dans celle des intégrales abéliennes.
22 Cil. MERAY.
En intégrant par décomposition après avoir substitué kf{x) son développement connu en fractions simples accompagnées d'une fonction olotrope dans Taire S, il vient
(28) l f{x)dx — ¥{x) -h Ai/(jr ~ a,) -h. . H- Ayl(x — ay),
où a, , tta , . . . , a^ sont les infinis de/{x) contenus dans Taire S, où A, , . . . , A^ sont les résidus de cette fonction relatifs à ces divers infinis, où F(x) enfin est une fonction méromorphe dans la même aire.
Quand x revient à son point de départ après avoir parcouru le contour (G), le terme F(x) méromorphe dans Taire S, partant monodrome, revient à sa valeur initiale et ne donne rien dans Tintégrale définie. Mais, comme le contour constitue un anneau direct ceignant Tun quelconque des points a,, ..., a^, chaque logarithme augmente de 2T:i (23). Il reste donc
X/(a:) rfjC =: 2 71* ( A| -f- Aj -+- . . . -h Ay),
où, par définition, la somme entre parenthèses est précisément le résidu intégral de la relation (27).
En faisant varier la nature de/(x) et la forme du contour (C), en exécutant des transformations diverses, Cauchy, auteur de ce théorème, en a déduit les valeurs d'une foule d'intégrales définies, les unes nouvelles, les autres déjà obtenues, mais par des moyens bien plus pénibles. On a cru (|ue cette élégante méthode réduisait des intégrations aux simples différcntiations nécessaires pour calculer les résidus, et Ton s'en est étonné. Mais la relation transitoire (28) montre bien qu'au fond l'intégration n'est ramenée qu'à d^autres intégrations dont les résultats sont fournis, une fois pour toutes, par la théorie du logarithme.
25. Nous terminons ce paragraphe par un autre théorème de Cauchy qui porte encore son nom.
Les mêmes choses étant admises que dans le précédent avec la condition pour/(x) de n'avoir aucun zéro sur le contour (C)^ si l'on nomme m la somme des degrés de multiplicité des zéros de /(x) intérieurs à Vaire S, pi la même somme pour les infinis de cette fonction et Al/(x) la variation que fait éprouver à lf(x) le parcours du contour ( C) dans le
sens direct y on a
En appelant
... y fl^.
«Si
. . . , ay
les zéros et les infinis de/(x) contenus dans Taire S et
leurs degrés de multiplicité puis f(x) une certaine fonction olotrope dans Taire S et n'y possédant aucun zéro, la théorie des fonctions méromorphes d'une seule variable conduit à la formule de décomposition connue
/^^^- (x-a,)f^.,..(^-ay)!^r ^^'
d'où Ton tire immédiatement, moyennant un choix convenable des déterminations des logarithmes (6)
puis, après le parcours direct du contour (C),
A//(j?) = 2/n|- A/(jc — Ui) — 2/jLi A/(»r — «i) -h AU(x).
Dans le second membre de cette égalité, le dernier terme se réduit à zéro ; car f(x) étant olotrope et sans zéro dans Taire imperforée S, lf{x) y est localement olotrope (5, I) (2, III), et, par suite, monodrome (R. 4, III), puisque cette aire est imperforée. D'autre part, on a, comme tout à Theure
A/(a? — Oi) m A/( J7 — «i) = 27r£ ;
il reste donc
ce qu'il suffisait de prouver.
Cauchy a tiré de cette proposition des conséquences fort intéressantes pour le dénombrement des racines des équations à une inconnue, qui sont renfermées dans des aires limitées par des contours spéciaux ; mais leur reproduction ne serait pas ici à sa place.
Fonction exponentielle.
26. L'élude des fonctions engendrées par V inversion des intégrales abéliennes est assurément Tune des parties les plus intéressantes de toute leur théorie. Nous avons à la faire actuellement pour le logarithme népérien.
La résolution, par rapport à u, de Inéquation
donne une fonction de x qui est indéfiniment olotrope et dont le développement par la formule de Maclaurin est
(2) U=il-\
Cette équation étant satisfaite pour a? = o, w = r, valeurs de x, w, pour lesquelles le premier membre l(u) — x de sa forme normale est olotrope et
sa dérivée partielle - par rapport à w ne s'évanouit pas, possède une seule
racine olotrope en x = o et y prenant la valeur u = i (2, V); en outre, cette racine est déterminée par l'équation différentielle et la condition initiale
du
— HZ u, M ■=: I pour or ^z o.
Comme la combinaison de cette équation avec celles qu'on obtient en la différentiant indéfiniment donne, quel que soit /w,
on trouve immédiatement la série (2) pour premier développement de son intégrale.
Le rayon de convergence de cette série est d'ailleurs illimité ; car, pour une valeur X de a? ayant un module supérieur à celui que l'on considère, le
rapport '— des modules des termes de rangs m -h i, m est toujours infiniment petit, d'où l'on conclut facilement que pour x = X\c module du terme général est infiniment petit aussi et à plus forte raison fini.
L'intégrale cherchée est donc bien la fonction indéfiniment olotrope dont
la formule (2) fournit le développement, car la somme de cette série, satisfaisant certainement à l'équation (i) pour les valeurs de x sufGsamment voisines de o, la vérifie certainement pour toutes valeurs de x (2, I).
27. En représentant provisoirement cette fonction par 9 (x), il est évident que la résolution de V équation
faite à partir deu = î,x = o reproduit l(u)^ car, à cause de ç' (x) = u (26), elle donne l'intégrale de l'équation différentielle
dx I
du M
complétée par la condition initiale x = pour u = i (2, V) (5).
28. La dijfférentiation de la fonction ^{x) la reproduit indéfiniment ; en d'autres termes, on a, quel que soit l'indice m,
Cette identité n'est pas autre chose que la relation (3) écrite d'une autre manière. D'ailleurs la différentiation de la série (2) la rend évidente a posteriori.
29. A la propriété caractéristique du logarithme népérien (6) correspond par inversion celle de ç(a?) que nous allons énoncer et qui est fondamentale.
Au bout de chemins quelconques issus de on a identiquement
pourvu que ces radicaux partent des valeurs initiales
[cp(o)]»'=[9(o)r=.., = i (R. 60).
Les trajets imposés à a?', x'\ . . . font décrire aux quantités (6) X' = <p(^'), X''=<p(^-'),
(les chemins au bout desquels on a la relation (i4) du n° 6
parce que (27) les formules (6) donnent inversement
Or, et cela par définition (26), la résolution de la relation (7) par rapport à la quantité dont le logarithme figure dans son premier membre donne précisément celle qu'on veut établir après substitution de 9(^')» ç(af), .. . àX', X'^,
30. Quand les nombres K', K", ... sont tous entiers, l'identité (5) ne renferme que des fonctions indéfiniment monodromes et subsiste, par suite, indépendamment de toute condition accessoire. La considération de la série (2) en fournit alors une autre démonstration bien simple.
La formule de Taylor, indéfiniment applicable à la fonction <f(x) parce que la série (2) est indéfiniment convergente, donne, pour toute valeur de X et de A, cela à cause de l'identité (4),
(8) <p(^-hA) = (p(a?)<p(A);
on en tire facilement
puis, en prenant a;' = a;" = . . . = x^^ = Xj
On a, d'autre part, à cause de (8),
iz= 9(0) = 9(0: — x) = 9(ar)9( — a;
d'où l'on conclut
puis, en vertu de (9),
Une combinaison évidente de toutes ces formules particuKères conduit ensuite à la forme de l'identité générale (5) dans le cas qui nous occupe.
