La relation (5) donne, en particulier

d'où, pour X = iy

On représente par la lettre e la constante (p(i) en posant

e=i o(i) = iH 1 h. .. = 2,7182818....

On a ainsi

pour toute valeur de x réelle et commensurable y formule qui facilite beaucoup la conception de pareilles valeurs de notre fonction.

Pour X non réelle commensurable, le signe é^ n'a point de sens; mais, précisément à cause de cela, on peut lui en imposer un en écrivant, pour toute valeur de x et conventionnellement quand il y a lieu,

C'est la notation que nous adopterons désormais en nous conformant à l'usage. Elle a le double avantage de fournir les valeurs de notre fonction dans tous les cas où elle a un sens propre et de rappeler aux yeux l'analogie parfaite de sa propriété caractéristique (5) avec les règles du calcul des

exposants. D'où le nom de fonction exponentielle auquel on ajoute quelquefois le mot népérienne pour la distinguer d'autres analogues dont nous parlerons plus loin (41 et4th in/.).

33. La discussion numérique de la fonction exponentielle se ramène immédiatement à celle du logarithme népérien, en vertu de cette observation qu'un théorème énoncé plus haut (2, VI) rend évidente.

Si le parcours par u d'un chemin quelconque [i , U] /ait décrire à

ûfz=z l{u)

le chemin [o, X], o/i a certainement

Il y a toutefois quelques faits qui sont intéressants à établir directement.

I. Quand x croit de — oo à -h y:^ en passant par des valeurs réelles , e' est réelle et croit de o à -i- ce.

Le premier point résulte de ce que tous les coefficients de la série (2) sont réels. Comme ils sont en outre positifs, e* est positive aussi pour ^ >• o et

même pour j: < o, à cause de e""'^= — (30).

Enfin e^y dérivée première de e'(28), étant ainsi toujours positive, e^ est toujours croissante et même à l'infini à cause de e^^x. Quand x décroît jusqu'à — 00, e^ tend vers o parce que — x est une quantité positive infinie

et qu'on a e*= -^'