III. Dans les autres cas on a

(II) mode*'+^'*'=:c*'.

Car e^' est une quantité positive (I) donnant (30)

quantité de module i (II).

IV. Quand x se meut de — ao à -4- oo sur une parallèle à Vaxe Oj-X', menée à la distance x" de cet oore, a = c-^ marche de o à^ sur la demidroite tracée de Vorigine 0„ à V extrémité d'un arc de longueur ± x"" mesuré à partir du point u = i sur la circonférence [0„, i] dans le sens de rotation direct ou dans le sens rétro grade ^ selon que x" est ^ o.

Car X = l(u) décrit précisément cette parallèle quand u se meut sur la demi-droite en question (10).

V. Quand x se meut uniformément rfe — oc à -h oc sur une parallèle à Vaxe Oj.X!' menée à la distance x' de cet axe, u = e^ tourne uniformément dans le sens direct sur la circonférence [O^, e^'] en passant en u=i au moment ou x passe en x' et en faisant une révolution entière chaque fois que x progresse d'une longueur = 27: sur la parallèle considérée.

Car X = l(u) décrit précisément cette parallèle quand u décrit, de la manière indiquée, la circonférence en question (13).

VI. Si nij n sont deux entiers, le premier positif et si a,„ désigne toujours la racine principale directe m*^"*^ de l' unité , on a

d'oùy en particulier y

Ces formules sont des conséquences évidentes de celles inverses du n** 20; elles fournissent pour les racines de l'unité des expressions que l'existence des Tables trigonométriques rend les plus convenables pour leur calcul numérique.

34. La fonction exponentielle, étant indéfiniment olotrope, a pour phase singulière unique celle correspondant aux valeurs infinies de x.

3o CH. MÉRÂY.

En vertu de la relation (u), combinée avec les conclusions des alinéas qui la précèdent dans le n° 33, elle est infinie quand le premier élément de X est infini positif, infiniment petite quand il est infini négatif, indéterminée dans tous les autres cas.

Un pareil mode de variation sépare absolument e* de toutes les fonctions algébriques d'une variable, dont chacune tend vers une limite déterminée ou bien est infinie pour des valeurs infinies quelconques de la variable.