ZE(K—K,;)M,, Z(K°—K2)M
qui font apparaitre le monome M,, le seul qui nous intéresse pour la détermination de A, et de B,..
Portons les expressions précédentes, ainsi que les expressions ana-
dn d’n , RAS —— 4 — € (0) A l Ê logues de + — dans les équations du mouvement, il vient
2] A, (Ki+3— 2) + Be (Ki sur) | M,
è R +2} STCKE— KE)Ay M 2(K— Ko)By My} + D = 0 / 3 HR S[A, (ak Sur +B,(Kè+ 2e) [M, 0R
+2)2[(K—Ki)B;/M,+2(K—K;)A,;M,]|—
on
LNAT Lee et dans les premiers membres de ces équations le coefficient de chacun des monomes M, doit être identiquement nul. Appelons X, et Y, les
coefficients de M, dans les expressions
0R 0R en ! EN NT dE + X,M,, Fe + Y,M,
avec X,M,= 2[(K?— K?)A,M,+ 2(K—K;)ByMy],
Y,M,= S[(K— K2)B,My+ 2(K—K)AyMy],
LR 9
expressions connues à ce moment du calcul; on a les équations
Le a, (K3+3—Ÿp)+B,(2ki+ ax) +X,=0,
; % A+, (ok, F4) + B,(K; — ue) + Y,=0, qui sont résolues par rapport aux coefficients A, et B, cherchés
(2K,— sex )X—(Ki+ 3 — Pa)
à 4 B,— = = + Re TR RE CERTA À. 8 D» =
Ki+3—°p
Le caleul est impossible si K, = + f, ou + g,; dans ce cas qui se présente exactement autant de fois qu'il y a de coefficients tels que Ja Ja, -.., dans f'et g, le numérateur de B, égalé à zéro détermine justement l’un de ces:coefficients et de plus on prend B, — o suivant la
convention faite.
Le calcul de B, présente des difficultés pour K, voisin de zéro ou
de + 1, celui de A, jamais.
Si M, est un monome avecr, etr, impairs, le coefficient correspon-
dant C, dans Cest déterminé de même.
Soit Z, le coefficient de M, dans
Rae:
Rod DANS Le
avec Z,M,= Z(K'—K:)0,M,,
én
PT te expression qui est connue d’après ce qui a été déjà fait,
Lp Tr Eener SRE TE
1, on a C,= 0 par convention et l’équation Z, = o détermine l’un des coefficients 2,, 8, ... du développement de 2. Il y a des difficultés si K, est voisin de + r, ces difficultés et celles qui ont été signalées plus haut se présentent quand les dénominateurs de B, ou de C, contiennent en facteur une certaine puissance de .
En général, dans ce cas, les numérateurs contiennent la mème puissance de & en facteur; il est évident en effet que , © ne peuvent croître indéfiniment quand & tend vers zéro, puisque l'orbite se rapproche de plus en plus d’une ellipse, cependant on peut prévoir une exception à
cette règle.
Cette exception a lieu quand le dénominateur + 5 2 Ko — Kÿ + FEU —p) est d'ordre supérieur à 4, c’est-à-dire quand K, est racine de l’équation caractéristique à un certain degré d’approximation. Par exemple, Ko=8 +p£8';
le dénominateur de B, est d’ordre uw, tandis que son numérateur est
seulement d'ordre y, puisqu'il contient des termes de cet ordre qui ne
sont intervenus dans aucun calcul antérieur.
Nous montrerons que la solution générale convient encore à ce cas, c’est-à-dire que n reste fini quand & devient nul, à condition toutefois de modifier certaines constantes d'intégration.
B,, étant indépendant de + on peut écrire \ \ B,M,— PB, efi+ite | Ve » | 4 : ou encore en développant l’exponentielle | |
= B;, ei up, esftiée gr + be = t
a is
La seconde partie de cette expression représente des termes sécu-
\ à El
AD laires d'ordre 1; quant à la première
