A ES

Toujours avec les notations du Chapitre [, mais X, Y, Z étant les coordonnées de la planète dans le mouvement non troublé, on a les expressions classiques

X = r{[cosÿ cos(e —0)— sinOsin(s —0)cos/|=7r!x, Y=7r{sing cos(e — 0) + cos sin(e — 8) cos] = r'y, Z=7r sin(e —6)siny ne

æ ES

d'où les formules 1+ËÉ—=Pp ÊE d—p)}—o2sin(e — 06) sin(s" + d — 9ysintÀ |;

£ =? Lin (e'+ 4 p) + 2 sin(e—8)cos(v' +4 — 6)sintÀ |, L »

— 0 REP UE Posons ecos({—m)—/h;, sin 2 cos(/— 5) = pi.

AS SRE RON ET DL ésin À sin ({— 0) —='g;, =, = ot+ y + À;

et remarquons que

PH d—s—=—c For

He le 0 ne:

THÈSE PALOQUE 9

les formules ci dessus deviennent

1+Ë—peosce[(1+2g})chA—2p;gshA] +épsinc[(r —2pi) shÀ + 2p;gichÀ], n= p cosc[(r +29?) shÀ —2p,q,chA] +ip sinc[(r— 2p?)chÀ + 2p;qishàl], Gé pCosc (234 Vpn) + Ép since (ap, Vi pi+g2) Développons ces formules en considérant que p,, g, et À sont du même ordre de grandeur, il vient

1? ! F2 À’ 1HÉE— pecsoit © agi ape qe ) ; 24 . , 3 3 * = \ Un sine (2 + 2P1q: 6 2D? À MAC IE À? à :

ie p cos e(a —2PiNT & —°2 q? À — mat) G é 1° 2 FLE À \ + Lp SincC Re — 2 pi + 2p;iqiÀ — pi + hp + {— pcosc(2qi—qipi+qi)

+ ip sinc(2 pi + p1qi — pi).

Il reste à exprimer p cosc, o since en fonction de L, et de #, ; les développements de départ de ceux dec et der

é — 2e sin M + 7e sin2M 3 £$ ce E (18 sin3M — 8sinM) + 2 (108sin4M — 44 sin2M) +. 9 | r—ali—ecosM — 2 (cos2M — 1)

- (2 cos4 M — 2 cos2M) +... ],

e (0053 M oi

dont on déduit successivement les développements

MT 4 TO. TONER coSg= 1 +242 SRE SE SIREN 3 te

Ésine UE DE OR OU RC MS

== 1 È 1Ai Ds TE RAIN Le AT NS mm lo

r=a Sn An em PE D em : - : ete f LE 3 .2 LR RTS BA RCA GG LEE RES EER Re hi kŸ + F3 MÉRITE 3 Aie. ;

Te I RE "Lie ASS Ne tr ne a( à hi 4 2 ARR s Ki + 8 Hate.)

Fr ‘ { » . af: + ; et ceux de 1+ €, n, C dans lesquels l'indice 1 a été supprimé pour une

raison qui sera donnée plus loin.

un fe

; + k+2q +aok + -?

1 E = — + 5. pe 24? AE hpqk est (: UC pu) — : 2h

+3 KE + ra Rk+aq + pqhk +2 É k3 + - Rk — 4 pk + ph) \

1 I I FÉVR EE CT: run De É +): GE 2 X

+ AR 2pg 0

a = = = 1 +x(; hi k va) ALL 1046:

+4pk—oqh Res

rl +g—p'q+plk+i2qlh

Posons h—'ecos(v'+d—5), = sin? cos(p/+ d — 0), k— ie sin(e'+d —w), 1= isin 7 sin(o!+ db — 9), Reco es

nent

Le développement de r’ est obtenu en remplaçant dans celui de 7

respectivement a par a’, À, par ’, k, par #' et l’on en déduit celui de .

I I , T= at ER RE RER Pia Re 9 RARES).

- 5 k3 + = Rk— pk +2pqh +R +2q) + k + LS

5 /, + 3% R5k + . kK5h—phk— 92pqkt+} É KEh—2qh + (1722

—2p#k— qj$h+pqh +24 pk + PAU PIER + 34h

ie On a d’autre part

} LED EE rot

d’où

et les anciennes notations À,, #,, p,, g, s'expriment en fonction des nouvelles

à (FAR Tes e ÉS F2 R=h+Xk SA HUE m=p+ig+=lp+sg

cr POP. ENS TRES KH=kHIREENEE ER n=g+}p+-hg+akMp.

Pour effectuer cette transformatien dans les expressions de 1 +4, , Gilfaut:

1° y supprimer l'indice 1 partout où il figure, ce qui a déjà été fait; 2° y introduire de nouveaux termes en À.

Nous donnons ci-dessous ces nouveaux termes auxquels nous joignons . £ I ceux qui résultent du facteur =; [la partie entre crochets du développement de 1 + £ qui précède] + h!

+R RE Eh I Rk HUB RE RER ER + RER + ag RH XCRk + 2hk + pq) ce NBA +R) 1tE—S + ARS RH RUE RER RER huh k2 he Spark +2qh?—2qhh—2q k?+ 4pgkh 3 se |

RACE SERA RE 2 sh K+3Rk+ 4 p?k +agh+apqh!)

+A (: PRE TER br K«)

Lo37 + ah

Soient

GO

[la partie entre crochets du développement de n qui précède] 7 +2h'kK+A(R +02h)

= 2RKE+ RER ERA — opqh

i 12 l AA] ! 1 n2 2 2 + i(% 24 Ah — k?+ AT ; k? — 2 p? — 29°)

al +onik+ © hAKk+ = RUE EUR D RRE RE T RRE RE prR'k 4 2 2

+2pqhh— 02pqh?+ 2pqK"?

+ AÇa® re : RS HER h + ù RARE RE + LEUR 3kh— kK?h— 2pth +2qh— 6 pqk à 2 Pg QAR HS AK) + DEC F 54) [la partie entre crochets du développement de € qui précède] + 2qgh + 2àp + 4pl'k+o2qh?= 2qhh—2qk?+3(2ph+2ph +o2qk) + . al +qh—p'qh+4pkhk®+ phhk—{Kpkk+ 2h" 2qhh"? DT —oqhk®+oqhk?+92qk&h LE A(— p° + pa? + 2ph° + ph? + 2phh—2pk#+3pk+ 2qkh + 5gkh) + (2pk+ qh'+2qh) + zKPp

Il reste à exprimer À en fonction des éléments elliptiques et de +’,

rappelons que D i(l— 0! — ÿ).

L'origine du temps étant toujours le moment où Jupiter passe au périhélie, on a le développement bien connu v'=n't+2 (e'sin p'— Le sin29' RS RS 2 Er ; + 6° sin3p/— 6° sin 4 p'—- 56° Sin 2 + .. à dont on déduit

n° n j ES ! ES !

nie (Es Pen pre EE RCE

l={l,+ nt, Sr ET