PET

cos G EE ne Ê , 3V3pn'

Il est nécessaire pour que les développements soient convergents que |BcosG,| soit inférieur à 1; c’est-à-dire que l’inégalité suivante soit vérifiée :

Sn 42

rè

Si l’on fait tendre w vers zéro les développements du Chapitre IT, sous leur forme trigonométrique, ne peuvent rester convergents que si en même temps on fait tendre n vers n°.

Il était facile de le prévoir.

RL, EEE

C’est en effet l'action de Jupiter qui maintient la petite planète au voisinage d'un centre de libration (4 = 0, n —0, {—o), cette action ayant disparu, la petite planète d’une part, le centre de libration d’autre part, décrivent autour du Soleil des orbites elliptiques (dont les moyens mouvements sont respectivement 2 et n°); s'ils ne sont pas voisins la théorie analytique du Chapitre I, qui utilise des développements suivant les puissances de £, 1, 5, est sans valeur; s'ils sont voisins, ils restent VOISINS : /

1° pendant une période de temps illimitée si 2 — n';

> pendant une période de temps limitée si n =£ n°.

Dans ces deux cas, la théorie analytique fournit le mouvement de la petite planète.

Dans le premier cas,

et nous ferons l'identification complète des deux systèmes de développements de &, n, ©.

Dans le second cas,

la même identification ne peut constituer une vérification. Si on laisse subsister à dans un système, il faut laisser Vu dans l’autre, leur comparaison permettrait seulement de séparer dans les développements du Chapitre ‘LI les termes en Vu qui proviennent de la différence des moyens mouvements ? — »' et ceux qui sont effectivement des perturbations dues à Jupiter.

Les résultats obtenus plus haut montrent enfin dans quelles limites

la théorie analytique est susceptible d’une application concrète. Si l'on admet a priori qu'il faut avoir

les éléments osculateurs de la petite planète devront vérifier les deux inégalités :

hop < 34, | — n] 16".

22 Fi le rs

Ces conditions sont remplies par toutes les planètes troyennes actuellement connues.

Forme définitive des développements de &, n, €. — Si nous faisons Î— 0, on à

RP SUN pr ho Rene:

Pour effectuer cette nouvelle transformation dans les expressions n . . [4À de 1 +Ë, n, ©, il faut supprimer le facteur met

1° y remplacer À par 2(k —#); 2° yintroduire de nouveaux termes que.nous donnons ci-dessous :

[la partie entre crochets du développement de 1 +£ qui précède] — 34h! + - KkK'kR'+3kh!k

HE Re 1.13 Lois pra per ti 19 HR D EN RO L 14 +34 3 A Hg AR ER heu 6h'hk°? + 3pqh'k

— k(— SAS + h'2k! + GK )

[la partie entre crochets du développement de qui précède | = : h'k—2hk +2k(k + h)

TR, helene n = 3 2 2

nl h=pRe DM LE LENCO Gant.

8 2 l 24 3 + : LRk'k —3pthk'—6kk?h + 3k'h"£k ls [l [la partie entre crochets du développement de Ë qui précède] + 3ph'k!

— Sp + ph?k + 3phh'k'—6qk"?h + 3qkkh+ 6kqh'k Nous écrirons les développements définitifs de &, n, € en faisant

apparaître les différences À — }!, #— k'.

THÈSE PALOQUE 10

R(h=R)EU(k— kŸ + 2 — 2ak[k'—(k—#)]+2k

io en LRCk— k)h + (Re KP h 2 2 , LCR RYR ER AR (KR) (RR) aq (h=h) + 4pq(k—k) 2, + k[—oRt 4 + oh(k—k)— 3(h—hN)K +S(R—R)(k— KT) + 4pq)]

HA CR RU) ER) RCE RD — 2 RCE RS 3 a MEET n + Re R')k2 — Sen (k— K") + RACE — A 6

k AR RES RME RCA NI ECE “HR 2 (4 — ply2k'2

—+ rl Al À LT 4 [2 l Œ 1 + TC RCE RP CR RAR K) = 2h (4 =!)

+aqg(k—Rk y + Spqh'(k—k#k) — 3pqk'(h—h) + pq(h— R')(k—k')

KT SKI 5RECEK) —3k(E—RKY+ DCE RP—3RK

—7hR RE 5 (RP RH IGREE — K°) + 7h RCk— RD) + 19h Ch — h')Ck — 41)

HER EPURR) EGpath =) Spqh'|

+ kf12 RH IG (h— h) + 6(h—h)—64k2+ SE KEY +49]

8 16 2 3 AY A Les En = k4 Lee PU k]+3x

SET Ses Fa(k—k')+ok

D | Qt

+ = A'(k—RKk) + : (R—h)(k—k1) — - K(h—h) — 2pqg+2k(2h +h—h)

e DC RE) à RACE RU) RICE DE BAR) — CR R)K 3 1 HSM) (ER) — LCR RP HEAR RE) — GARE R1) + 2pq(h = N°) ÉTMENT +2k|-h?— -K2+02h(h—R!) 2 AT

Fe = CA RE RUKK)+ re ky—ap|

+ AR(k—K)+ 3h

+ TANGER) + D RR HI CE— k)— RAR AIR

#N= 21 13 5 + BAR —R) CAE) RCUERNRES gta YK

- (hA—R'}(k— k!) — D kA(k— k!)h!— REY

+ CRT PARA ep ES A) + Spre(g— k')Ch— h') 24 3 8 23 1 / ! ! | 49 ! / —— K(k— KR) + ZCk—- KA —Rh) un 24 — 5p°h'(k—k)+o2pqh'(h— h)—2pq(Kk—ky + k[6k8+5hR(hR— LR )+AR(h— RP +(h—hY} —6Kk°?h — 3k2(h—h)—4k(k—k)h—8k(k—KN(R— Rh) +i2(k—k')h + 9g(k—Kk')(h— h') — 8p°h— Kp?(h—h) + &pqgk'— &pq(k — k1)]

+ kg A (k—K)+138(h—h)(K—K)—3(h—Rh)k — 4pq]

nn ETE FU N)|

+ 4p(k—k)—2q(h—h)+4kp

+ g—ptq + 5ph'(k—k)—3p(h—hk)k +p(h — h')(k—-k) —2qh(h—h)+a2q(k—#k'}+4k[2ph+p(h—h)—qh+q(£=#)] + 4k?q

—opi{k—k)—qgh—hN)—pq(h—hk) +2qg p(k— k)

= SPC — K— 4phE(k—K) —apk(k=— k'} +6ph?(k—K!)

—2ph'(h—h)k + 3ph'(h—Rh)(k—#)—p(ha—RY# Hp(h—h}(k=k!)—0qh(h—h)+3qk2(h—h)+3q(A%—-kPr — gk'(k— KR EE 3q(k —KkY(h—h)—4qk(k—Kk)(h— h) + k[— 2p$+ 2g?p +ioph?+8ph'(h—h')+ap(h—h) — 6pK? + 6p(k—k}— Gpk'(k— KT 4qh'k +a4qhR(k—#) — Gq(h — h')k +ioq(h— h)(k — #)]

+ KRE8p(k— k') +i2qh'+8q(h — h)] + : kp

Méthode génerale d'identification. — L'identification des termes du premier ordre a déjà été faite, voici comment elle sera poursuivie : Nous poserons

h == x0c0$F ER K—kK'—i(asinF + A), p =} cosH + A;, qg=àûysinH + A), k—:(BsinG + À;),

avec s h1= &! cosv!, K'= dersimuts

A,, À, ... représentant des termes d’ordre supérieur au premier (EP AE

Nous porterons ces expressions dans les développements de £&, n, £ qui viennent d’être établis et nous montrerons qu'il est possible de déterminer les A de telle manière que :

1° les formules de transformation soient compatibles ;

2° 6, n, © deviennent identiques aux développements du Chapitre II dans lesquels on fait 4 — o et que l’on trouvera sous forme réelle au Chapitre suivant.