CHAPITRE PREMIER
Des Forces, de leur Composition ^ et de V Équilibre
d^un point matériel.
I . Un corps est en repos lorsqu'il ne change pas de position par rapport à d'autres points regardés comme fixes; il est en mouvement lorsqu'il occupe successivement diffërens lieux dans l'espace.
Toute cause motrice qui tend à faire passer un corps de l'état de repos à l'état de mouvement , ou à altérer d'une manière quelconque le mouvement que ce corps a reçu, s'appelle ybrce on puissance.
La nature des forces nous est généralement inconnue , et nous ne pouvons juger de leur grandeur que par les effets qu'elles produisent. Ainsi ^ nous disons qu'une force est double ^ triple ou quadruple d'une autre, lorsque les effets qui en résultent dans des circonstances semblables , sont entre eux dans le même rapport.
En comparant de cette manière toutes les forces de la nature à l'une d'entre elles prise pour unité ou pour terme de comparaison , ces forces se trouveront exprimées par des nombres abstraits qui marqueront leur rapport à une unité commune, et elles ne seront plus pour nous que des quantités mathématiques ordinaires.
Le rapport que nous venons de définir est ce qu'on
appelle V intensité de la force; son point d'applîcatioiK^ est le point sur lequel elle agit immédiatement ; sa. direction , la ligne droite qu'elle tend à feire décrire" au point matériel auquel elle est appliquée.
Un point matériel soumis à l'action de plusieurs forces qui ne se font pas équilibre , tend à se mouvoir dans une direction quelconque , et cette direction est unique, puisqu'il ne peut se mouvoir à la fois dans deux sens différens. Si l'on imagine une force dirigée suivant la ligne que le point tend à décrire, et dont l'effet équivale à l'action combinée des autres forces qui le sollicitent , il est évident que l'on pourra remplacer, par cette force unique, le système de forces que l'on avait considéré d'abord, et en faire désormais abstraction, La force, ainsi déterminée, s'appelle la résultante de celles qui ont mis le corps en mouvement, et celles-ci sont nommées les composantes de la première.
La résultante de deux forces dont les directions sont sur la même ligne droite , est égale à leur somme ou à leur différence, selon qu'elles agissent dans le même sens ou dans des sens opposés : c'est une conséquence de ce que nous avons dit qu'on devait entendre par l'intensité d'une force. Mais si les directions de ces deux forces forment un angle entre elles, la direction et l'intensité de la résultante sont liées à celles des composantes par une relation que nous allons nous proposer de déterminer.
Soient X et Y deux forces dont nous supposerons les directions perpendiculaires entre elles, et soit M leur point d'application. Désignons par R leur résul-
tante ^ et par x l'angle qu'elle forme avec la direction cle la force X. Les intensités des deux forces X et Y étant données , il est clair^ d'après ce que nous avons dit, que la résultante R sera complètement détei>minée de grandeur et de direction. On aura donc généralement
d'où, en éliminant Y, on tire
X = <p(Rx).
Dans cette équation^ X et R sont les seules quantités dont l'expression numérique varie selon Tunité de
force qu'on a choisie : leur rapport ^ doit être indépendant de cette unité ; il faut donc qu'il soit exprimé par une simple fonction de x; ce qui exige qae<p{KfOc) soit de la forme R.Çx. On aura donc ainsi
X = R.px,
équation dans laquelle on peut changer X en Y,
pourvu qu'on y change en même temps x en a:,
^ étant égale à la demi-cîrconférence dont le rayon est l'unité.
Cela posé, déterminons d'abord la valeur de la résultante R. Pour cela, •remarquons que l'on peut considérer la force X comme la résultante de deux forces X' et X", dont la valeur est inconnue , et qui agissent, la première suivant la résultante R, et la seconde dans une direction perpendiculaire à cette
résultante. La force X^ qui provient de la compo6Ϋtion de ces deux nouvelles forces y formant l'angle x
avec la direction de X', «t l'angle x avec la
direction de X*', on aura
X' = X.<pa: = ^',- X" = X.(pg-x) = Ç,
On peut de même regarder la force Y comme la ré* sultante de deux forces Y' et Y^ dirigées , la première suivant la résultante R, la seconde perpendiculairement à cette force ; et pour déterminer les intensité de ces deux composantes , on aura
On pourra ainsi , aux deux forces données X et Y,^ substituer les quatre suivantes :
