X* Y» XY XY
Les deux dernières agissent en s«as contraire et se détruisent ; les deux premières agissant dans le mêm^ sens, s'ajoutent^ et leur somme forme la résultante R. On aura donc
4'qu ji'09 peut conclure que la résultante des deux forces ]X et Y «ei^ représentée «n grandeur par la dia« jgjonale du «e^tangle construit sur les droites .qui re<^ présepfçnt ces |(»^e6,
Péten^iiîQ^fi fu^vatenant la fcHWiie ^ ^acs.¥ovdC
ela,j. ço^sv^ws» uii^ |;i^i^l^ ftwço K agissaot sur
iculaire au plan des forces X et Y. Pour avoir la 3sultaiite des t^^ok fwces X^^^^Xi: 2, on composera abord ea une seule deux quelconques d'entre Iles; on composera ensuite leur ]^ésultante avec ïa •oîsième , et il est évident que la force qui en résul- ;ra sera la mjême dans quelque ordre que cette 3mposition se soit opérée. Soit dfHic, comme préîdemment, R la résultante des forces X et Y. a: iatngle que forme cette force avec la direction dé X. oit S, la résultante des forces R et Z , et r Taitgîe ue forme sa direction avec la force R; on aurà^
Aais si y après avoir composé en une seule Tés forces f et Z ^ on regarnit 1^ çqpvpie pij^^pant de la com- K>sition de leur résultante et de la force X ^ et qu'on lésigne par z l'angle ^e foméât entt*è elles' ^ lés brces X et S, on aur£^
X ss s . (pz.
>ltçi eqijatiw, WAP^réç à c^^ç^; q^j fwM^eRjj, lonne
Pour déduire de cette égu^tfân fet valeur de ça: , je remarque que les angles x ^\ y devant être absolu- QM^t ÎA^^^^P^ 1 W deil'aufre^.ffli peqt fowçft^çrier !BfiÇ dfiW %»«W^ çfipai'^inent i si Vojû ^fflrei>c^ (Jpnp parrapfiwpk,^ a? VéquëtiOT préf?é4ewta, qw^'c^l^^if-
fërencie ejosuite par rapport à /, et qu'on diyise le^ deux résultats Tun par l'autre ; en faisant pour abréger^
dx ^ ^ ^ dy
on aura
dz
dx ^__^ ^'x,çy dz Çx.ç^y
équation de laquelle la fonction inconnue ^z a déjà disparu.
Considérons maintenant le triangle sphériq:^e reo tangle intercepté entre les directions des trois forces X, R, S; on aura entre les trois côtés Xy y^ z de ce triangle, la relation
cosa = cosar.cos/; d'où, en différenciant, on tire
dz sin X cosy dz ^^ cos * sin y
dx ""^ sin z ' dy ^^ sin z
En substituant' pour -r- ^^ rr leurs valeurs dans l'é-
'^ dx dy
quation (b), on en déduit
cosx,ç^x ^^^^ cos y. p' y svax.çx siny.çy*
Puisque les deux angles x eXy sont indépendans l'un de l'autre , il est clair que l'un quelconque des deux membres de cette équation peut demeurer consh
^ h taot; ,quelque valeur que l'on donne à la variable ^ contenue dans l'autre membre ; on aura donc généralement
c étant une constante indépendante de l'angle x. Cette équation, après y avoir substitué pour (p'x sa
• valeur -~ donne en l'intégrant
çx = Ccos"^: X,
C étant une constante arbitraire. Cette valeur, substi- - tuée dans l'équation X = R.^a:, donne
X = R.C.cos""*. X.
Il ne s'agit plus que de déterminer les deux constantes C et c. Or, si l'on suppose Y nul , on a évidemment R=X et ar=o; donc cosa:=i et C = i.
SiFon suppose Y=X, on a R = v/X»+Y»= X. y/^
etxssSo**; on aura donc X = X.\/2.cos'"*'. 50**}
mais cos 5o* = --;=- ; donc c^=-— i , et par conséquent
X =; R*cos.a:.
Cette équation détermine l'angle x ; elle fait voir que la résultante des deux forces X et Y est dirigée suivant la diagonale du rectangle dont les côtés représentent ces forces.
Concluons donc, enfin, que la résultante de deux forces rectangulaires appliquées à un même point matériel M, et dont les intensités sont représentées
lo THÉORIE ANALYTlQDEi
par des lignes pri^s sur leurs dire^ctions , est rçpj:ér seiitée en grandeur et en direction par Is^ di^Qoal^ du rectangle construit sur ces droites.
Il suit de là, qu'à une force donnée on peut toujours substituer deux autres forces qui forment les côtés d'un rectangle dont eUe e$t la diagonale. SoitR la force donnée, X et Y ses deux composant^, et a l'angle que forme la force R avec la force X; les trois forces R, X, Y et l'angle a seront liés par fe équations de condition
X = Rcosfl, ¥ = Rsina, R==:VXmFY^:
Ces équations, qui n'équivalent réellement qu'à deux équations distinctes, serviront à déterminei dewç àesi quatpe quantités; X^ Y, R et a, lQrsquç,lff deux auti:es seront données.
En étçndant à trois dimçnsiûps le théorèipç Pfî^^ dent, il efi\ ^isé d'en conclure que la résultantci dj trois forces rectangulaires appliquées à tql mêm< point matériel est représentée en grandeur et ei direction par la diagonale du parallélépipède doBt ki arêtes représentent ces forces. Soient donc X, Y, 2 ces trois composantes, Râleur Fesul tante, et a, b, i les* trois ajpgles que fait sa directiqif avep c^)1q dei fprc^ S^^ Y et 9. On ^ura
R = v/XT^TY^+'Z^, X = R.cosa^ Y s=? R'.eos^ Z =c R.gos^?, équatidW qui saççprd^art. wlr*. .^es, puipqv^>i
^ trois angles a, b, c sont liés par la condition
rott
cos*a -f- cos*i + cosV = i.
Les équations précédentes seryirppt à déterminer trois des six quantités H^ Y, Z^ B., a et b, lorsque les trois autres seront connues. Elles détermineront la valeur et la direction de la résultante , lorsque les trois composantes X, Y et Z seront données, et réciproquement on pourra, par leur moyen, décomposer une force donnée R en trois autres perpendiculaires entre elles, et formant avec sa direction des angles donn^.
2. De là résulte une manière très simple de déterminer la grandeur et la direction de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées ii un même point matériel M. En effet, soient P, P', P'', etc., les jateuités de ces foreea; a, al ^ et y etc. ; b^ h\ V'y etc. ; (?, cff d'y etc., les angles qui font respectivement leurs. directions avec les trois axes côordonués ; on décomposera chacune des forces données en trois autres parallèles à ces axes; désignant ensuite par X, .Y et Z là somme de toutes les composantes , respectivement parallèles aux axes des x, des^ et çles Zy^ en sorte qu'on ait
X=2.Pc;qpii, Y^Ï.Pcos*, Z = 2.Pcosi>,
Toutes les forces qui agissaient sur le point M se trouveront ramenées à trois forces rectangulaires X, Y, Z, et si l'on di^sigQ^ P^i* R la résultante de ces
trois forces , et par A ^ B ^ C les angles que fait sa direction avec les trois axes coordonnés, on aura, * pour déterminer ces quatre inconnues , les équations ^
X = R.cosA, Y=R.cosB, Z;=R.cosC* j,
Si Ton place l'origine des coordonnées au point M; qu'on désigne par Xy yy z, les coordonnées de rex-|^ trémité de la force P; par stfyjr'y a', les coordonnées)^ de la force P', et ainsi de suite , on aura .
a: = P.cosa, j-c=:P.cosô, zssP.cosc, ^ x' ^zzY . cos a! y etc. ,
et par conséquent ^"
X = a: + ;r'+ etc., Y =^ -f-^' + etc. ^ ii
Z = z + z' + etc. ; ^
dans ce cas, X, Y, Z représentent les coordonnéei^ de l'extrémité de la résultante , dont le carré sera \^ somme des carrés de ces coordonnées: on aura doon. ainsi immédiatement la grandeur et la direction d^ la résultante. il
Si le point M est en équilibre , en vertu des forcit qui le sollicitent, leur résultante doit être égale \i
zéro i mais la fonction V^X* + Y* + Z*, valeur de ^ cette résultante, ne peut être nulle, à moins qu'onjj n'ait séparément t)
X s=s o, Y =ss o, Z = o.
DU SYSTÈME DU MONDE. i3
bien
r.Pcosiiso, 2.Fcosd=o, 2.Fcos<?=o.
Test-a-dire que, dans le cas de Fcquilibre d'un Qt matériel M sollicité par un nombre quelconque rorces, la somme des composantes de ces forces dlèles a trois axes coordonnés rectangulaires, doit i séparément égale à zéro.
i. Ce théorème offre un moyen curieux de consiie géométriquement la résultante d'un nombre elconque de forces appliquées à un même point, i de vérifier l'équilibre qu'on supposerait exister lire ces forces. En effet, soient P, P', F'. . .F"^ les «ces données, que nous supposerons en nombre •{-I, et représentées par des lignes prises sur leurs îrections. Soient a, b, c, a', b', etc., les angles p'elles forment respectivement avec les trois axes lordonnés. Si l'on ajoute toutes ces droites a l'exûté Tune de l'autre, dans un ordre quelconque, dans des directions parallèles à celles qu'elles autour de leur point commun d'application , on jera un polygone d'un nombre n + 1 de côtés , côtés pouvant être situés ou non situes dans le le plan. Plaçons l'origine des coordonnées à l'oride l'une quelconque des forces P, F, etc., à ngine de la force P, par exemple, et désignons
xW, Y^**\ z^*^; x^'^ lf^'^ z^»> xH Tf^"\ z^"^
icoordonnées des différens sommets de ce poly- ; il est aisé de vérifier qu'on aura généra-
i4 THÉORIE ANALYTIQUE
jC«) = Pcosa + P'cosa'. ... H- P^"'cosa^»', \C0 = Pcosè -f- P'c<»s*'. . . . 4- PWcosèW, j^c») . pcQg ^ ^ Fcosc' .... H- P^"^cosc^"^.
Si les forces P, P^ . . ï*^"^ sont en équilibre , on a n* 2 ,
et par conséquent le polygone est fermé. Si l'équilibre n'a pas lieu, les coordonnées x^"^, y^*^, z^"^, élËtnt égales respectirément aux trois coordonnées de la résultante des forces P, P'. . .F*^, n** 2, cette résultante se confond avec la ligne menée de Torîgitie pour fermer le polygone ; elle est donc représentée en grandeur et en direction par cette ligne. Quant à son sens d'action, il n'est pas équivoque, puisqu'elle doit toujours tendre à augmenter les coordonnées x^"^, y^"^, z^"^; d'où l'on peut conclure encore que cette résultante est égale et directement opposée à la force qu'il faudrait ajouter aux forces P, P\ . .P^"^ pour ét^lir l'équilibre dans ce système, ce qui d'ailleurs e^t mianifeste.
Il suit aussi de là, comme corollaire, que si le système de forces que l'on considère se réduit à deux forces P, P'> formant entre elles un angle quelconque, la i^sultatite est la diagonale du parallélogt*amme construit sur les deux forces, et que, si ce système se compose de trois forces P, P', P'' non situées dans le même plan, leur résultante est représentée parla diagonale du parallélépipède construit sur ces trois forces.
m SYSTÈÉE DU MONDE. i5
\ 4* Supposons maintenant que le point M sur lequel agissent les forces P, P', etc. , île soit pas libre et qu'il soit assujetti h rester sur une surface doianée ; il en éprouvera une résistance que nous désignerons par N , et qui s'exercera suivant la perpendiculaire à cette surface. S'il en était autrement, cette résistance pourrait se décomposer en deux autres forces , lune dirigée suivant la normale à la surface, et qui empêcherait le point de la pénétrer, l'autre parallèle à cette surface, et qui 6V)pposerait à ce que le point pût s'y mouvoir librement; ce qui est contre la supposition. Si l'on considère la résistance N comme une force BOuyeUe^nt le ponit M est animé, il est clair qu'on pourra lè re^rder Mtouitè comme parfaitemetit libre , et £ûre absiracticto de la surface donnée. Soieht donc a, C, y, les angles que forme la direction de la normale au point M avec les axes coordonnés ; soient X, Y, Z la somme des composantes , respectivement parallèles à ces axes, des forces qui sollicitent le point M; on aura , pour les conditions d'équilibre ,
NC0S> + Z:±=0. I ^'")
[ De ces équations on tire d'abord
' N= v/X*H-Y*-hZ*;
> c'est la mesure de la résistance dont la surface dojt » ' être capable pour n'être pas pénétrée par le point M ; ci elle est égale a la résultante des forces qui agissent ^ sur ce point , ou à la pression qu'il exerce contre la surface, suivant la direction de sa normale.
i6 THÉORIE ANALYTIQUE
Soit L = o réquation de la surface donnée ; x^jy z les coordonnées du point M situé sur cette surfstoe; on aura y par les formules connues ,
cos«=:K(§), co8ff = K(^), co8>=K(g;
en faisant^ pour abréger^ K =
Si l'on substitue à la place de cosa^ cos^, cos^, leurs valeurs dans les équations {m)j et qu'on élimine entre elles l'arbitraire N ^ les conditions d'équilibre ii point M se réduiront aux deux équations suivantes :
/dL\ rw /dL
