CHAPITRE II

)e V Équilibre £un système de points matériels liés entre eux cPune manière quelconque.

5. Considérons d'abord un système de forme inariable , et commençons par le cas le plus simple , slui où le système' se compose de deux points seulelent^ et où les forces qui lui sont appliquées se ^dxtîsent à deux^ agissant dans le même plan.

Si l'on prolonge les directions de ces forces^ que ous désignerons par P et P', jusqu'à ce qu'elles se encontrent en un point 0, on ne changera rien à état du système, en supposant les forces P et P' ppliquées immédiatement à ce point. En désignant onc par R leur résultante, et par a, a\ A, les Dgles que forment respectivement avec l'axe des Xy 2s forces P, P', R, on aura

R.cos = P.cosn + Ftcos^i', R.sin = P.sina + P

\cos^i', ] \ sma. j

Ces deux équations donneront la valeur et ta diection de la résultante R. La position de cette force eralt donc parfaitement déterminée , si l'on connaisait un seul point de sa direction ; or, nous savons lu'elle doit passer par le point de concours des deux orces P et F. Pour exprimer analytiquement cette 'Ondition, menons de l'origine des coordonnées au^

point 0^ une ligne L, et soit a l'angle que forme cette droite avec Taxe des jc. Abaissons de cette même origine une perpendiculaire sur chacune des forces P, P', R ; si l'on désigne par p^ p^ et r, les longueurs de ces droites, il est aisé de voir qu'on aura

^ = L.sîn(a — à), p' =2 lj.sin(et — ^)A /\

r = L.sin(a-.A). J '^^^

Si y au moyen des deux premières équations, on élimine de la troisième les deux quantités L et a , on 4ura la valeur de r exprimée en fonction de quantités connues , et la résultante R sera entièrement déterminée de grandeur et de position. Mais à Féquation qui résulterait de cette élimination, on peut en substituer une qui a l'avantage d'être plus simple, et dont la conséquence est la même; en effet, remarquons que si l'on retranche l'une de l'autre les équations (i), après avoir multiplié la première par since, la seconde par ços a , on a

R.sin (a — A) = P.sin (a — «) + F. sin (et' — a').

Substituons, dans cette équation, pour sin (a — A), sin(tt — fl), sin(x — a'), leurs valeurs tirées des équations (o) , et multiplions tous les termes par L , nous aurons

J{r=Vp + Py. (2)

Cette équation donnera la valeur de r, et fera connaître par conséquent à quelle distance la résultante passe de l'origine des coordonnées.

DU SYSTÈME DU MONDE. aS

S'il y iivaît équilibre dans le système, la résnl*-^ tante R serait nulle ; les équations (i) montrent qu il faut, dans ce cas, que les forces P et P' soient égales et agissent dans des directions parallèles , mais en sens inverse ; l'équation (2) montre qu'elles doivent être, de plus, directement opposées, ce qui d'ailleurs est évident.

La fonction Kr que nous avons introduite dans l'équation (2) , et généralement le produit d'une force par la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur sa direction , est ce qu'on appelle le moment de la force par rapport à cette origine. Ce produit peut s'exprimer d'une autre manière, qui a l'avantage de rendre manifeste le signe des perpendiculaires p, p' y r. En effet, si l'on désigne par ar, y et x', y\ les coordonnées des points d'application des forces P, et P', et par x, if les coordonnées d'un point quelconque de leur résultante , il est aisé de voir qu'on .aura

p z=zj cosa — or sin a, p* z=zx' cos a! — /' sin a\

et r = X cos A — y sin A ,

l'équation (2) deviendra ainsi

R(xcosA— YsinA) = V{x cosa — jrsina)

H-P'(x'cos/i'— ysina'). (5)

Considérons maintenant un système composé d'un nombre quelconque de points matériels liés entre eux d'une manière invariable , et sollicités par des forces que nous supposerons toujours agir dans le même plan. Soient P, F, F'...P^*^, les intensités de ces

forces; a, a!^ fl''...fl^"\ les angles qu'ettiBB forment avec Taxe des x\ p^ p\ p".. ./7^"^ les perpendiculaires abaissées de l'origine sur leurs directions. Composons d'abord en une seule deux de ces forces , P et P' prises à volonté; soit R' leur résultante^ A' l'angle qu'elle forme avec l'axe des ^, et r' la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction ; composons ensuite cette résultante avec la force suivante P"; soit R" leur résultante, A'' l'angle qu'elle forme avec l'axe des X, et F^' la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction ; composons cette nouvelle résultante avec la force P''', et ainsi de suite : de cette manière, nous réduirons finalement le système à deux forces, R"""* et P^"^, dont nous déterminerons la résultante en grandeur et en direction , d'après ce que nous avons dit précédemment. Désignons par R cette résultante, par A l'angle qu'elle forme avec Taxe des x, et par r la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction, et déterminons par le même n* la valeur des quantités R' cos A', R' sin A', RV , R" cos A'', etc. , nous aurons , par de simples substitutions ,

R.cosA = S.Pcosa, R.sinA = S.Psina,) r.v

le signe 2 désignant généralement la somme des quantités qu'on obtient en marquant successivement d'un accent les lettres IP, a, p.

Les deux premières équations déterminent Tintensite et la direction de la résultante ; la troisième , la distance à laquelle elle passe de l'origine. Cette der<-»

mère équatMk montre que le moment de la résultante d un nombre quelconque de forces est égal à la somme des momens des composantes. Si l'on désigne par x, t les coordonnées d'un point quelconque de la direction de R y et par x, y y x'y y', etc. , les coordonnées des points d'application des forces P, P', etc. ; cette équation pourra s'écrire ainsi :

R . (x cos A — Y sin A) == 2.P(a: cos a — y sinâ). (5)

Si le système que l'on considère est en équilibre, en vertu des forces qui le sollicitent, la résultante de ces forces sera nulle; on aura donc, dans ce cas,